( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x 0 3 x^2raizx+16-4

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto03x^2raizx+16-4
Este tipo de limite costuma levar a uma forma indeterminada 0/0, e vamos resolver usando a técnica de racionalização do denominador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0: o numerador fica 3cdot0^2=0 e o denominador fica raiz16-4=0, de modo que realmente temos 0/0. Para eliminar essa indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é, raizx+16+4.

Passo 3

Multiplicando por raizx+16+4raizx+16+4 e simplificando, obtemos:
3x^2raizx+16-4;cdot;raizx+16+4raizx+16+4 =3x^2(raizx+16+4)(x+16)-16 =3x^2(raizx+16+4)x =3xl(raizx+16+4r)

Passo 4

Agora a expressão está livre de indeterminação, então basta fazer xto0:
limxto03xl(raizx+16+4r) =3cdot0cdot(raiz16+4) =0

Resposta

O limite converge para 0.

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