( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real
, diverge para
ou
, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
Este tipo de limite costuma levar a uma forma indeterminada
, e vamos resolver usando a técnica de racionalização do denominador.
Passo 2
Verificamos a forma indeterminada substituindo
: o numerador fica
e o denominador fica
, de modo que realmente temos
. Para eliminar essa indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é,
.
Passo 3
Multiplicando por
e simplificando, obtemos:
Passo 4
Agora a expressão está livre de indeterminação, então basta fazer
:
Resposta
O limite converge para
.