Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
4 x^2 y^prime prime prime+8 x y^prime prime+y^prime=0 (x neq 0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
4 x^2 y^primeprimeprime + 8 x y^primeprime + y' = 0, xneq0
O conteúdo envolve redução de ordem (substituir p=y') e resolução de uma equação de Euler.

Passo 2

Fazendo a substituição p=y', temos
4 x^2p'' + 8 x p' + p = 0
Esta é uma equação de Euler de segunda ordem em p(x).

Passo 3

Supondo p(x)=x^m, substituímos na equação de Euler e obtemos a equação característica
4 m(m-1) + 8m + 1 = 0 ;Longrightarrow; 4m^2 + 4m + 1 = 0
O discriminante é nulo, logo há raiz dupla
m = -tfrac12

Passo 4

Com raiz dupla, a solução geral para p(x) é
p(x)=C1x^-1/2 ;+; C2,x^-1/2ln x

Passo 5

Como p=y', integramos para obter y:
y(x)=integral p(x),dx + C3
Usamos as integrais
integral x^-1/2,dx = 2x^1/2, integral x^-1/2ln x,dx = 2x^1/2ln x - 4x^1/2

Passo 6

Substituindo e reagrupando as constantes, definindo K1,K2,K3 adequados, chega-se a
y(x)=K1x^1/2 + K2,x^1/2ln x + K3

Resposta

y(x)=K1x^1/2 + K2,x^1/2ln x + K3,
onde K1,K2,K3 são constantes arbitrárias.

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