Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 1^+(ln x)^x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1^+(ln x)^x-1
O conteúdo aqui é um caso de forma indeterminada 0^0, já que ln xto0 e x-1to0. Vamos usar a estratégia de reescrever a potência como exponencial para transformar o problema num limite de tipo e^(cdots).

Passo 2

Reescrevemos
(ln x)^x-1 = expl((x-1),ln(ln x)r)
Assim, basta encontrar o limite do expoente
L = limxto1^+(x-1),ln(ln x)),
pois então o limite original será e^L.

Passo 3

Para calcular
L = limxto1^+(x-1),ln(ln x),
fazemos a mudança de variável t = x-1, de modo que tto0^+ quando xto1^+. Temos ln x = ln(1+t).

Passo 4

Expandindo ln(1+t) para t pequeno,
ln(1+t) = t - tfract^22 + o(t^2)
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ln(ln x) = lnl(t - tfract^22 + o(t^2)r) = ln t + lnl(1 - tfract2 + o(t)r) = ln t - tfract2 + o(t)

Passo 5

Substituindo na expressão de L:
L = limtto0^+ tl(ln t - tfract2 + o(t)r) = limtto0^+l(tln t - tfract^22 + o(t^2)r)
Sabemos que tln tto0 quando tto0^+ e t^2to0. Portanto
L = 0

Passo 6

Como o expoente tende a zero, o limite original é
limxto1^+(ln x)^x-1 = exp(L) = exp(0) = 1

Resposta

1

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