( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x -pi2 raiz1-(sen(x))^2cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -pi/2raiz1-(sen(x))^2cos(x)
e decidir se converge para algum LinR, diverge para +infty ou -infty, ou não existe. O principal conteúdo aqui é a manipulação de expressões trigonométricas com raiz e a análise de limites laterais quando há indeterminação na forma de sinal.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
1 - sen^2(x) = cos^2(x),
logo
raiz1 - sen^2(x) = raizcos^2(x) = lvert cos(x)rvert

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos
Essa expressão vale , ou seja,

Passo 4

Analisando o limite pela esquerda de -pi/2: se xto(-pi/2)^-, então cos(x)<0. Logo
limxto(-pi/2)^-lvert cos(x)rvertcos(x) = -1

Passo 5

Analisando o limite pela direita de -pi/2: se xto(-pi/2)^+, então cos(x)>0. Logo
limxto(-pi/2)^+lvert cos(x)rvertcos(x) = 1

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( -1 pela esquerda e 1 pela direita), o limite limxto -pi/2raiz1-sen^2(x)cos(x) não existe.

Resposta

O limite não existe, pois
limxto(-pi/2)^-raiz1-sen^2(x)cos(x)=-1 e limxto(-pi/2)^+raiz1-sen^2(x)cos(x)=1

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