( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real , diverge para ou , ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e decidir se converge para algum , diverge para ou , ou não existe. O principal conteúdo aqui é a manipulação de expressões trigonométricas com raiz e a análise de limites laterais quando há indeterminação na forma de sinal.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
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Passo 3
Substituindo no quociente, obtemos
Essa expressão vale , ou seja,
Passo 4
Analisando o limite pela esquerda de -pi/2: se xto(-pi/2)^-, então cos(x)<0. Logo
limxto(-pi/2)^-lvert cos(x)rvertcos(x) = -1
Passo 5
Analisando o limite pela direita de -pi/2: se xto(-pi/2)^+, então cos(x)>0. Logo
limxto(-pi/2)^+lvert cos(x)rvertcos(x) = 1
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (-1 pela esquerda e 1 pela direita), o limite limxto -pi/2raiz1-sen^2(x)cos(x) não existe.
Resposta
O limite não existe, pois
limxto(-pi/2)^-raiz1-sen^2(x)cos(x)=-1 e limxto(-pi/2)^+raiz1-sen^2(x)cos(x)=1