Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: Dica: integral sec (x) d x=ln (sec (x)+tan (x))+C.
y^prime=2 x2 y e^y^2-x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = 2x2y,e^y^2-x^2,
que é separável. Vamos precisar apenas isolar os x num lado e os y no outro, e então integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro simplificamos o coeficiente:
y' = xy,e^y^2-x^2
Escrevendo y' = dydx e multiplicando ambos os lados por e^y^2-x^2,dx, obtemos
y,e^y^2-x^2;dydx;dx = x,dx ;;Longrightarrow;; y,e^y^2-x^2,dy = x,dx
Em seguida, multiplicamos por e^x^2 para agrupar os expoentes:
y,e^y^2,dy = x,e^x^2,dx

Passo 3

Agora integramos dos dois lados:
integral y,e^y^2,dy ;=;integral x,e^x^2,dx

Passo 4

Usamos a substituição u=y^2 no lado esquerdo ( du=2y,dy) e v=x^2 no lado direito ( dv=2x,dx). Logo,
integral y,e^y^2,dy = 12integral e^u,du = 12,e^u + C1 = 12,e^y^2 + C1,
integral x,e^x^2,dx = 12integral e^v,dv = 12,e^v + C2 = 12,e^x^2 + C2
Igualando e absorvendo constantes ( C=C2-C1), temos
12,e^y^2 = 12,e^x^2 + C ;;Longrightarrow;; e^y^2 = e^x^2 + C'

Passo 5

Escrevendo de forma implícita a solução geral,
e^y^2 - e^x^2 = C
Se quisermos explicitar y, aplicamos logaritmo e raiz:
y^2 = lnl(e^x^2 + Cr) Longrightarrow y = pmraizlnl(e^x^2 + Cr)

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
e^y^2 - e^x^2 = C,
ou explicitamente por
y = pmraizlnl(e^x^2 + Cr),
onde C é constante de integração.

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