Nos exercícios 3 a 5 use a definiçāo de derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente
Seja f(x)=1raizx.
(a) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x), no ponto de abscissa x=1.
(b) Determine a equação da reta tangente no ponto mencionado.
(c) Determine os pontos da curva y=f(x) em que a reta tangente tem inclinação de 60^circ.

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos a definição de derivada em f(x)=1raizx a fim de obter o coeficiente angular da reta tangente: em x=1 (item a), depois escrever a equação dessa reta (item b) e, finalmente, achar os pontos onde a inclinação da tangente é 60^circ (item c). Vamos usar o limite do quociente incremental para calcular a derivada.

Passo 2

Calculamos
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h =limhto0tfrac1raiz1+h-1h
Para resolver esse limite, racionalizamos o numerador:
tfrac1raiz1+h-1h =1-raiz1+hhraiz1+h cdot1+raiz1+h1+raiz1+h =1-(1+h)h,raiz1+h,(1+raiz1+h) =-hh,raiz1+h,(1+raiz1+h)
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f'(1) =limhto0l[-tfrac1raiz1+h,(1+raiz1+h)r] =-11cdot2 =-12

Passo 3

No ponto de abscissa x=1 temos y=f(1)=1 e coeficiente angular m=f'(1)=-tfrac12. A equação da reta tangente fica
y-1=-12,(x-1),
ou seja
y=-12x+32

Passo 4

A inclinação de 60^circ corresponde a um coeficiente angular m=tan60^circ=raiz3. Para achar x tal que
f'(x)=-12x^3/2=raiz3
teríamos que ter um número negativo igual a um positivo, o que não ocorre para x>0. Portanto não existem pontos em que a reta tangente a y=1/raizx tenha inclinação de 60^circ.

Resposta

(a) -tfrac12
(b) y=-tfrac12x+tfrac32
(c) não há ponto da curva com inclinação de 60^circ

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