Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0(11-cos x-2x^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 0l(11-cos x-2x^2r)
Para isso, vamos usar a expansão em séries (Taylor) de cos x em torno de zero.

Passo 2

Expandindo cos x em torno de zero, temos
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)
Logo,
1-cos x = x^22 - x^424 + O(x^6)

Passo 3

Para inverter essa expressão, note que
11-cos x = 1x^22l(1 - x^212 + O(x^4)r) = 2x^211 - x^212 + O(x^4)
E como 11 - u = 1 + u + O(u^2), segue
11-cos x = 2x^2l(1 + x^212 + O(x^4)r) = 2x^2 + 16 + O(x^2)

Passo 4

Subtraindo 2x^2, obtemos
11-cos x - 2x^2 = 16 + O(x^2)
Portanto, ao xto0, o limite vale 16.

Resposta

16

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