( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real
, diverge para
ou
, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
ou seja, queremos ver se essa expressão converge para um número real ou diverge. Para isso vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem), explorando que
está sempre entre
e
.
Passo 2
Observamos que, para todo
,
Multiplicando essa desigualdade por
, obtemos
Somando
em todos os termos:
Passo 3
A função
é crescente no intervalo
. Logo, aplicando raiz quadrada na desigualdade acima, fica
Passo 4
Agora analisamos os limites das funções que confrontam a expressão:
Como ambas as funções-limite dão
, pelo Teorema do Confronto temos