( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x 0 raiz1+x^2 cdot cos ^2(1x).

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0 raiz1 + x^2,cos^2!l(tfrac1xr),
ou seja, queremos ver se essa expressão converge para um número real ou diverge. Para isso vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem), explorando que cos^2(1/x) está sempre entre 0 e 1.

Passo 2

Observamos que, para todo xneq0,
0 <= cos^2!l(tfrac1xr) <= 1
Multiplicando essa desigualdade por x^2>=0, obtemos
0 <= x^2,cos^2!l(tfrac1xr) <= x^2
Somando 1 em todos os termos:
1 <= 1 + x^2,cos^2!l(tfrac1xr) <= 1 + x^2

Passo 3

A função raiz;cdot; é crescente no intervalo [0,infty). Logo, aplicando raiz quadrada na desigualdade acima, fica
1 <= raiz1 + x^2,cos^2!l(tfrac1xr) <= raiz1 + x^2

Passo 4

Agora analisamos os limites das funções que confrontam a expressão:
limxto0 1 = 1, limxto0 raiz1 + x^2 = raiz1 + 0 = 1
Como ambas as funções-limite dão 1, pelo Teorema do Confronto temos
limxto0 raiz1 + x^2,cos^2!l(tfrac1xr) = 1

Resposta

limxto0 raiz1 + x^2,cos^2!l(tfrac1xr) = 1

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