Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: Dica: integral sec (x) d x=ln (sec (x)+tan (x))+C.
y^prime=e^x cos (y).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
y' = e^x cos(y)
Vamos usar a técnica de separação de variáveis e a primitiva
integral sec(u),du = lnl|sec(u)+tan(u)r| + C

Passo 2

Separe as variáveis, colocando termos em y de um lado e em x do outro:
dydx = e^x cos(y) Longrightarrow dycos(y) = e^x,dx Longrightarrow sec(y),dy = e^x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral sec(y),dy = integral e^x,dx
Pelo hint dado,
integral sec(y),dy = lnl|sec(y)+tan(y)r| + C1,
e
integral e^x,dx = e^x + C2
Definindo a constante geral C = C2 - C1, obtemos a relação implícita.

Passo 4

Escrevendo a constante C em um único termo,
lnl|sec(y)+tan(y)r| = e^x + C Longrightarrow l|sec(y)+tan(y)r| = e^e^x + C = K,e^e^x,
onde K=e^C pode ser positivo ou negativo (absorvendo o valor absoluto).

Passo 5

Para isolar y, use a identidade
tan!l(pi4 + y2r) = sec(y) + tan(y)
Assim
tan!l(pi4 + y2r) = A,e^e^x,
onde A é constante real. Aplicando a função inversa e isolando y, obtém-se
pi4 + y2 = arctanl(A,e^e^xr) Longrightarrow y(x) = 2,arctanl(A,e^e^xr) - pi2

Resposta

y(x) = 2,arctanl(A,e^e^xr) - pi2,
onde A é constante arbitrária determinada pela condição inicial.

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