Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x +infty x(e-(1+1x)^x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyxl(e - l(1+tfrac1xr)^xr)
Esse é um caso de indeterminação do tipo inftycdot0, pois (1+1/x)^xto e. Vamos reescrever (1+1/x)^x como exponencial e usar séries para capturar o termo de ordem 1/x.

Passo 2

Escrevemos
l(1+tfrac1xr)^x =exp!l(xlnl(1+tfrac1xr)r)
Usando a expansão em série de Taylor de ln(1+z) em torno de z=0 com z=1/x,
lnl(1+tfrac1xr) =tfrac1x-tfrac12x^2+Ol(tfrac1x^3r),
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xlnl(1+tfrac1xr) =1-tfrac12x+Ol(tfrac1x^2r)

Passo 3

Substituindo na exponencial,
l(1+tfrac1xr)^x =exp!l(1-tfrac12x+O(tfrac1x^2)r) =e;exp!l(-tfrac12x+O(tfrac1x^2)r)
Como exp(-1/(2x)+O(1/x^2))=1-tfrac12x+O(tfrac1x^2), obtemos
l(1+tfrac1xr)^x =e- e2x+Ol(tfrac1x^2r)

Passo 4

Então
e - l(1+tfrac1xr)^x =e - l(e- e2x+O(tfrac1x^2)r) = e2x+Ol(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x,
xl(e - (1+tfrac1x)^xr) = e2 + Ol(tfrac1xr)
e ao fazer xto+infty o termo de erro some.

Resposta

limxto+inftyxl(e - (1+tfrac1x)^xr)= e2

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