Seja f(x)=xx-1. Se possível, determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y=f(x) no ponto P(-2, 23).

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal à curva definida por
f(x)=xx-1
no ponto
Pl(-2,tfrac23r)
Para isso, vamos precisar de f'(x) para obter o coeficiente angular da tangente, e em seguida usar a relação entre as inclinações da tangente e da normal.

Passo 2

Usamos a regra do quociente para derivar
f(x)=xx-1 Longrightarrow f'(x) =(1)(x-1)-xcdot(1)(x-1)^2 =x-1 - x(x-1)^2 =-1(x-1)^2
Avaliando em x=-2 temos
f'(-2)=-1(-2-1)^2 =-1(-3)^2 =-19
Esse é o coeficiente angular mt da reta tangente.

Passo 3

A equação da reta tangente no ponto P vem de
y - y0 = mt,(x - x0),
onde (x0,y0)=(-2,tfrac23) e mt=-tfrac19. Logo,
y - 23 =-19l(x -(-2)r) =-19(x+2)

Passo 4

A reta normal tem coeficiente angular mn que é o negativo do inverso de mt, isto é,
mn=-1mt =-1(-1/9) =9
Usando novamente a forma ponto-inclinação em P,
y - 23 =9l(x+2r)

Resposta

Reta tangente:
y - 23 =-19(x+2)
Reta normal:
y - 23 =9(x+2)

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