( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real
, diverge para
ou
, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Estamos tratando de uma função que se torna infinita quando
. Para decidir se converge a um número real ou diverge a
ou
, vamos reescrever a expressão de modo a identificar o termo dominante na vizinhança de
.
Passo 2
Observe que podemos colocar em evidência
:
Essa forma mostra um numerador que, quando
, tende a
, e um denominador que tende a zero positivo (já que
qualquer que seja o sinal de
).
Passo 3
Como
implica
e ao mesmo tempo
, o quociente
cresce sem limite superior. Logo a expressão diverge para
.
Resposta
O limite diverge para
.