Um fabricante automotivo tem custo marginal e receita marginal , onde representa a quantidade produzida por mês. O custo total para 5 unidades é 800 é\mathrm{R} $1500$.
a) Encontre a função que representa o lucro marginal, , em função de .
b) Escreva e resolva o PVI para a função lucro total , utilizando a condição inicial correspondente à produção de 5 unidades.

Passo 1

O enunciado dá o custo marginal
CT'(x)=5x+4
e a receita marginal
RT'(x)=6x,
e pede:
a) o lucro marginal LT'(x);
b) resolver o PVI para o lucro total LT(x) sabendo que para x=5 temos
CT(5)=800, RT(5)=1500,
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LT(5)=RT(5)-CT(5)=1500-800=700

Passo 2

O lucro marginal é a diferença entre receita e custo marginais:
LT'(x)=RT'(x)-CT'(x)=6x-(5x+4)=x-4

Passo 3

O problema de valor inicial fica
LT'(x)=x-4, LT(5)=700

Passo 4

Integramos LT'(x)=x-4:
LT(x)=integral(x-4),dx=x^22-4x+C
Usando LT(5)=700:
700=5^22-4cdot5+C=252-20+C=-152+C
implies C=700+152=1400+152=14152

Resposta

a) ,LT'(x)=x-4
b) PVI:
LT'(x)=x-4, LT(5)=700,
solução
LT(x)=x^22-4x+14152

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