Nos exercícios 3 a 5 use a definiçāo de derivada para encontrar o coeficiente angular da reta tangente
Caso exista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva f(x)= x^2+ln (x+1) que é(são) perpendicular(es) a reta r: 3 y+3 x=6.

Passo 1

O enunciado pede as reta(s) tangente(s) à curva
f(x)=x^2+ln(x+1)
que sejam perpendiculares à reta
r:3y+3x=6
Para isso, vamos usar a definição de derivada para obter o coeficiente angular da reta tangente e depois impor que ele seja o negativo recíproco do coeficiente de r.

Passo 2

Pela definição,
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0(x+h)^2+ln(x+h+1)-x^2-ln(x+1)h
Como (x+h)^2-x^2=2xh+h^2,
f'(x)=limhto02xh+h^2+lnl(1+tfrachx+1r)h =2x+limhto0lnl(1+tfrachx+1r)h
Usando limuto0tfracln(1+u)u=1 com u=tfrachx+1, obtemos
f'(x)=2x+1x+1

Passo 3

Reescrevendo r:
3y+3x=6implies y=-x+2,
logo o coeficiente angular de r é mr=-1. A reta perpendicular deve ter coeficiente
mcdot mr=-1Longrightarrow m=1

Passo 4

Impondo f'(x0)=1:
2x0+1x0+1=1 ;Longrightarrow; 2x0^2+2x0+1=x0+1 ;Longrightarrow; 2x0^2+x0=0 ;Longrightarrow; x0(2x0+1)=0
Assim x0=0 ou x0=-tfrac12, ambos válidos no domínio x>-1.

Passo 5

Calculando y0=f(x0):
Para x0=0:
y0=f(0)=0+ln1=0
Para x0=-tfrac12:
y0=fl(-tfrac12r)=tfrac14+lntfrac12 =tfrac14-ln2

Passo 6

A equação geral da reta de coeficiente 1 que passa por (x0,y0) é
y - x = y0-x0
Para (0,0) fica
y=x
Para l(-tfrac12,tfrac14-ln2r) temos
y - x =l(tfrac14-ln2r)-l(-tfrac12r) =tfrac34-ln2 ;Longrightarrow; y=x+tfrac34-ln2

Resposta

y=x
y=x+tfrac34-ln2

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