( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x -infty 1-x^22 x^2+3 x+1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -infty1 - x^22x^2 + 3x + 1
O conteúdo envolve limites de funções racionais no infinito, onde comparamos os graus de polinômios no numerador e denominador e usamos que termos de menor grau se tornam insignificantes.

Passo 2

Para deixar claro o comportamento dominante, vamos dividir numerador e denominador por x^2, que é a maior potência em jogo:
1 - x^22x^2 + 3x + 1 = tfrac1x^2 - 12 + tfrac3x + tfrac1x^2

Passo 3

Agora, conforme xto -infty, sabemos que
1x^2to 0, 3xto 0,
pois 1/x^kto 0 para qualquer k>0. Logo a expressão acima tende a
0 - 12 + 0 + 0 = -12 = -tfrac12

Passo 4

Portanto o limite existe e converge para -tfrac12.

Resposta

limxto -infty1 - x^22x^2 + 3x + 1 = -tfrac12

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