sumn=1^infty 1n+n!

Passo 1

Temos a série infinita
sumn=1^infty1n + n!
O objetivo é discutir a convergência dessa série. Vamos usar dois testes clássicos: o teste da comparação e o teste da razão (d’Alambert).

Passo 2

Teste da comparação
Para n>=1 temos n!>=1, logo
n + n! ;>=; n!,
e portanto
0 ;<; 1n + n!;<=;1n!
Mas a série sumn=1^infty 1n! é convergente (ela soma a e - 1). Pelo teste da comparação, nossa série também converge absolutamente.

Passo 3

Teste da razão (d’Alambert)
Defina an = 1n + n!. Então
an+1an =1(n+1)+(n+1)! 1n + n! =n + n!(n+1) + (n+1)! =n + n!(n+1) + (n+1),n!
Factorando (n+1) no denominador:
an+1an =n + n!(n+1)l(1 + n!r) =n(n+1)(1+n!)+n!(n+1)(1+n!)
Como n!toinfty muito mais rápido que n, este quociente tende a 0 quando ntoinfty. Então
limntoinftyan+1an=0<1,
e pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Passo 4

Ambos os testes — comparação com sum1/n! e o teste da razão — mostram que
sumn=1^infty1n + n!
é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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