( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x pi2+ tg(x)

Passo 1

O enunciado pede
limxtopi2^+tan(x)
Para resolver, lembramos que
tan(x)=sin(x)cos(x)
e que podemos estudar separadamente os limites de sin(x) e cos(x) quando xtopi2^+.

Passo 2

Como sin(x) é contínua, temos
limxtopi2^+sin(x)=sin!l(tfracpi2r)=1
Quanto ao cosseno, para x ligeiramente maior que tfracpi2 ele é negativo e tende a zero. Logo,
limxtopi2^+cos(x)=0^-

Passo 3

Juntando esses resultados, quando xtopi2^+ temos
tan(x)=sin(x)cos(x);approx;10^-;=;-,infty
Ou seja, a função diverge para -infty.

Resposta

-infty

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