Determine a equação da reta normal a curva f(x)=x1+x que é paralela a reta r: y+x+3=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à curva
f(x)=x1+x
que seja paralela à reta r: y+x+3=0.
A reta r tem inclinação mr=-1. Numa curva, a inclinação da reta tangente em x0 é mt=f'(x0) e a da reta normal é
mn=-1mt,
Para a normal ser paralela a r, devemos ter
mn=-1 Longrightarrow -1f'(x0)=-1 Longrightarrow f'(x0)=1

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente:
f'(x) =(1+x)cdot1 - xcdot1(1+x)^2 =1(1+x)^2

Passo 3

Impondo f'(x)=1, temos
1(1+x)^2=1 Longrightarrow (1+x)^2=1 Longrightarrow 1+x=pm1
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1+x=1;Rightarrow;x=0, 1+x=-1;Rightarrow;x=-2

Passo 4

Agora achamos as ordenadas correspondentes:
f(0)=01+0=0, f(-2)=-21-2=2
Portanto os pontos são (0,0) e (-2,2).

Passo 5

A reta normal em cada ponto tem inclinação mn=-1. Usando a forma ponto-inclinação,
y-y0=-1,(x-x0)
Para (0,0):
y-0=-1(x-0) Longrightarrow y=-x
Para (-2,2):
y-2=-1l(x+2r) Longrightarrow y=-x
Em ambos os casos a reta é a mesma.

Resposta

y=-x

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