4.56 Prove: Se A e B são independentes, então A e B^{c} são independentes e A^{c} e B são independentes.

Passo 1

O enunciado dá que A e B são independentes. As informações relevantes e o que precisa ser provado são:
  • Informação dada: \;P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
  • O que provar:
    1. \;P(A\cap B^{c})=P(A)\,P(B^{c}) (ou seja, A e B^{c} são independentes);
    2. \;P(A^{c}\cap B)=P(A^{c})\,P(B) (ou seja, A^{c} e B são independentes).

Passo 2

Recordando identidades básicas de probabilidade (explicando o que cada símbolo significa):
  • P(\cdot) é a função probabilidade que dá um número entre 0 e 1 para um evento.
  • O complemento B^{c} é o conjunto de todos os resultados que não estão em B. Tem-se \;P(B^{c})=1-P(B).
  • Se dois conjuntos são disjuntos (não têm elemento em comum), a probabilidade da união é a soma das probabilidades.
  • Observação de partição útil: o conjunto A se decompõe em duas partes disjuntas: A=(A\cap B)\;\cup\;(A\cap B^{c}),porque qualquer elemento de A ou está em B ou está em B^{c}, e as duas partes são disjuntas. Portanto, aplicando a aditividade da probabilidade, P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c}).

Passo 3

Usando a igualdade do passo anterior, resolvemos para P(A\cap B^{c}):
P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B).
Agora substituímos a hipótese de independência \;P(A\cap B)=P(A)P(B):
P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A)P(B).
Factoring out P(A) (explico: isso significa tirar P(A) em fator comum),
P(A\cap B^{c})=P(A)\bigl(1-P(B)\bigr).
Mas 1-P(B)=P(B^{c}), então concluímos
P(A\cap B^{c})=P(A)\,P(B^{c}).
Isso provê que A e B^{c} são independentes.

Passo 4

Agora fazemos a prova para A^{c} e B. Usamos a partição de B em:
B=(A\cap B)\;\cup\;(A^{c}\cap B),
as duas partes são disjuntas. Pela aditividade,
P(B)=P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B).
Isolando P(A^{c}\cap B) obtemos
P(A^{c}\cap B)=P(B)-P(A\cap B).
Substituindo a hipótese de independência \;P(A\cap B)=P(A)P(B):
P(A^{c}\cap B)=P(B)-P(A)P(B).
Colocando P(B) em evidência:
P(A^{c}\cap B)=P(B)\bigl(1-P(A)\bigr).
Mas 1-P(A)=P(A^{c}), portanto
P(A^{c}\cap B)=P(A^{c})\,P(B).
Logo A^{c} e B são independentes.

Passo 5

Resumo do raciocínio em palavras simples: a ideia chave foi escrever um conjunto como união disjunta das suas interseções com B e B^{c}, usar aditividade para obter a probabilidade da interseção com o complemento como diferença de probabilidades, e então substituir P(A\cap B)=P(A)P(B) para fatorar e reconhecer o produto com P(B^{c}) ou P(A^{c}). Assim a independência entre A e B força independência entre A e B^{c} e entre A^{c} e B.

Resposta

P(A\cap B^{c})=P(A)\,P(B^{c})
P(A^{c}\cap B)=P(A^{c})\,P(B)

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