4.56 Prove: Se
e
são independentes, então
e
são independentes e
e
são independentes.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são independentes. As informações relevantes e o que precisa ser provado são:
- Informação dada:
- O que provar:
-
(ou seja, e são independentes); -
(ou seja, e são independentes).
-
Passo 2
Recordando identidades básicas de probabilidade (explicando o que cada símbolo significa):
-
é a função probabilidade que dá um número entre e para um evento. - O complemento
é o conjunto de todos os resultados que não estão em . Tem-se . - Se dois conjuntos são disjuntos (não têm elemento em comum), a probabilidade da união é a soma das probabilidades.
- Observação de partição útil: o conjunto
se decompõe em duas partes disjuntas: porque qualquer elemento de ou está em ou está em , e as duas partes são disjuntas. Portanto, aplicando a aditividade da probabilidade,
Passo 3
Usando a igualdade do passo anterior, resolvemos para
:
Agora substituímos a hipótese de independência
:
Factoring out
(explico: isso significa tirar
em fator comum),
Mas
, então concluímos
Isso provê que
e
são independentes.
Passo 4
Agora fazemos a prova para
e
. Usamos a partição de
em:
as duas partes são disjuntas. Pela aditividade,
Isolando
obtemos
Substituindo a hipótese de independência
:
Colocando
em evidência:
Mas
, portanto
Logo
e
são independentes.
Passo 5
Resumo do raciocínio em palavras simples: a ideia chave foi escrever um conjunto como união disjunta das suas interseções com
e
, usar aditividade para obter a probabilidade da interseção com o complemento como diferença de probabilidades, e então substituir
para fatorar e reconhecer o produto com
ou
. Assim a independência entre
e
força independência entre
e
e entre
e
.