Uma caixa contém 5 tubos de rádio dos quais 2 são defeituosos. Os tubos são testados um após o outro até que os dois tubos defeituosos sejam encontrados. Qual é a probabilidade do processo parar no segundo teste?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Há
tubos no total. - Desses,
são defeituosos e são bons. - Os tubos são testados um após o outro sem reposição (ou seja, depois de testar um tubo ele não volta para a caixa).
- Há
- O que o enunciado pede:
- A probabilidade de que o processo pare no segundo teste, isto é, de que os dois tubos defeituosos sejam encontrados exatamente nos dois primeiros testes.
Passo 2
Entendimento do evento “parar no segundo teste”.
- Para o processo parar no segundo teste é necessário e suficiente que os dois primeiros tubos testados sejam exatamente os dois defeituosos.
- Em termos de eventos, seja
o evento “primeiro teste dá defeituoso” e o evento “segundo teste dá defeituoso”. Queremos .
Passo 3
Usando a regra da probabilidade condicional (regra do produto).
- A regra do produto diz que, para dois eventos
e , onde é a probabilidade de ocorrer dado que já ocorreu. - Aqui aplicamos com
e :
Passo 4
Calcular
e
.
- Na primeira retirada há
tubos defeituosos entre tubos, então - Se o primeiro foi defeituoso (evento
ocorreu), resta na caixa tubo defeituoso e tubos no total. Assim
Passo 5
Multiplicar as probabilidades (aplicando a regra do produto).
- Usando os valores obtidos:
Passo 6
Verificação alternativa (combinatória / hipergeométrica) — isso ajuda a fixar a ideia.
- Outra maneira é ver a seleção dos dois primeiros testes como uma amostra de tamanho
sem reposição. A probabilidade de tirar exatamente os defeituosos nessa amostra é dada pela distribuição hipergeométrica: - Calculando os binomiais:
então que coincide com o resultado anterior.
Passo 7
Interpretação final e incentivo.
- Portanto a probabilidade de o processo parar no segundo teste é
(ou seja , ). - Bom trabalho por encarar o problema — a técnica de multiplicar probabilidades condicionais e a visão hipergeométrica são ferramentas que valem muito na prova.