Uma caixa contém 5 tubos de rádio dos quais 2 são defeituosos. Os tubos são testados um após o outro até que os dois tubos defeituosos sejam encontrados. Qual é a probabilidade do processo parar no segundo teste?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • 5 tubos no total.
    • Desses, 2 são defeituosos e 3 são bons.
    • Os tubos são testados um após o outro sem reposição (ou seja, depois de testar um tubo ele não volta para a caixa).
  • O que o enunciado pede:
    • A probabilidade de que o processo pare no segundo teste, isto é, de que os dois tubos defeituosos sejam encontrados exatamente nos dois primeiros testes.

Passo 2

Entendimento do evento “parar no segundo teste”.
  • Para o processo parar no segundo teste é necessário e suficiente que os dois primeiros tubos testados sejam exatamente os dois defeituosos.
  • Em termos de eventos, seja A_1 o evento “primeiro teste dá defeituoso” e A_2 o evento “segundo teste dá defeituoso”. Queremos P(A_1\\ \text{e}\\ A_2).

Passo 3

Usando a regra da probabilidade condicional (regra do produto).
  • A regra do produto diz que, para dois eventos A e B, P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\,P(B\mid A),onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu.
  • Aqui aplicamos com A=A_1 e B=A_2: P(A_1\\ \text{e}\\ A_2)=P(A_1)\,P(A_2\mid A_1).

Passo 4

Calcular P(A_1) e P(A_2\mid A_1).
  • Na primeira retirada há 2 tubos defeituosos entre 5 tubos, então P(A_1)=\frac{2}{5}.
  • Se o primeiro foi defeituoso (evento A_1 ocorreu), resta na caixa 1 tubo defeituoso e 4 tubos no total. Assim P(A_2\mid A_1)=\frac{1}{4}.

Passo 5

Multiplicar as probabilidades (aplicando a regra do produto).
  • Usando os valores obtidos: P(A_1\\ \text{e}\\ A_2)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.

Passo 6

Verificação alternativa (combinatória / hipergeométrica) — isso ajuda a fixar a ideia.
  • Outra maneira é ver a seleção dos dois primeiros testes como uma amostra de tamanho 2 sem reposição. A probabilidade de tirar exatamente os 2 defeituosos nessa amostra é dada pela distribuição hipergeométrica: P(\text{2 defeituosos em 2})=\frac{\binom{2}{2}\binom{3}{0}}{\binom{5}{2}}.
  • Calculando os binomiais: \binom{2}{2}=1,\quad \binom{3}{0}=1,\quad \binom{5}{2}=10,então P=\frac{1\cdot 1}{10}=\frac{1}{10},que coincide com o resultado anterior.

Passo 7

Interpretação final e incentivo.
  • Portanto a probabilidade de o processo parar no segundo teste é \dfrac{1}{10} (ou seja 0,1, 10\%).
  • Bom trabalho por encarar o problema — a técnica de multiplicar probabilidades condicionais e a visão hipergeométrica são ferramentas que valem muito na prova.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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