2-56C Consider a soap bubble. Is the pressure inside the bubble higher or lower than the pressure outside?

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a pressão dentro de uma bolha de sabão é maior ou menor do que a pressão fora dela.
Informações relevantes que podemos usar (implícitas no enunciado): a bolha é uma película esférica fina de líquido (sabão) que separa o ar interno do ar externo; essa película tem tensão superficial, que chamaremos de \gamma; a bolha tem raio \,R. Não foi fornecido nenhum valor numérico — a pergunta é qualitativa (maior/menor), mas podemos também obter a diferença de pressão em função de \gamma e R.

Passo 2

Explicando o conceito-chave: tensão superficial.
A tensão superficial \gamma é a energia necessária para aumentar a área da superfície por unidade de área, ou alternativamente a força por unidade de comprimento que age ao longo da borda de uma superfície. Suas unidades são newton por metro ( \mathrm{N/m}) ou joule por metro quadrado ( \mathrm{J/m^{2}}). Intuitivamente, a superfície age como uma “membrana” que puxa para dentro, então para equilibrar essa força é preciso haver uma diferença de pressão entre os lados da superfície.

Passo 3

Estratégia de cálculo (método da energia virtual / trabalho):
Se fizermos uma pequena variação do raio da bolha \,dR, o trabalho realizado pela diferença de pressão entre interior e exterior deve igualar o aumento da energia da superfície (porque aumentar o raio aumenta a área da película e, portanto, sua energia).
Volume da esfera:
V=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}
Variação infinitesimal do volume quando R aumenta em dR:
dV=4\pi R^{2}\,dR
Área de uma superfície esférica (apenas uma face):
A_{\text{uma face}}=4\pi R^{2}
Uma bolha de sabão tem duas superfícies (interna e externa), logo área total de filme é:
A_{\text{total}}=2\cdot 4\pi R^{2}=8\pi R^{2}
Variação infinitesimal da área total ao aumentar R em dR:
dA_{\text{total}}=16\pi R\,dR

Passo 4

Calcular trabalho da diferença de pressão e variação de energia superficial:
Trabalho realizado pela diferença de pressão \Delta p=p_{\text{in}}-p_{\text{out}} ao aumentar o volume em dV:
\delta W=\Delta p\,dV=\Delta p\cdot 4\pi R^{2}\,dR
Aumento da energia superficial (energia = \gamma\times área):
dU=\gamma\,dA_{\text{total}}=\gamma\cdot 16\pi R\,dR
Em equilíbrio mecânico (pequena variação virtual), o trabalho da pressão deve igualar o aumento da energia superficial:
\Delta p\cdot 4\pi R^{2}\,dR=\gamma\cdot 16\pi R\,dR

Passo 5

Simplificar e isolar \Delta p: cancelar 4\pi\,dR dos dois lados:
\Delta p\;R^{2}=4\gamma R
Dividindo por R^{2}:
\Delta p=\dfrac{4\gamma}{R}
Como \Delta p=p_{\text{in}}-p_{\text{out}} resulta positiva, concluímos que a pressão dentro da bolha é maior que a pressão fora. Observação comparativa: para uma gota líquida isolada (apenas uma interface líquido-ar) a fórmula seria \Delta p=2\gamma/R; na bolha há o fator 2 extra porque existem duas superfícies.

Passo 6

Intuição física curta e incentivo: a película puxa para dentro por causa da tensão superficial; para impedir que a bolha colapse, a pressão interna precisa ser maior. Pronto — agora você sabe não só o sentido da diferença de pressão, mas também a expressão quantitativa. Vai dar bom na prova!

Resposta

A pressão dentro é maior do que a pressão fora; \;p_{\text{in}}-p_{\text{out}}=\dfrac{4\gamma}{R}

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