2-56C Consider a soap bubble. Is the pressure inside the bubble higher or lower than the pressure outside?
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a pressão dentro de uma bolha de sabão é maior ou menor do que a pressão fora dela.
Informações relevantes que podemos usar (implícitas no enunciado): a bolha é uma película esférica fina de líquido (sabão) que separa o ar interno do ar externo; essa película tem tensão superficial, que chamaremos de ; a bolha tem raio
. Não foi fornecido nenhum valor numérico — a pergunta é qualitativa (maior/menor), mas podemos também obter a diferença de pressão em função de
e
.
Informações relevantes que podemos usar (implícitas no enunciado): a bolha é uma película esférica fina de líquido (sabão) que separa o ar interno do ar externo; essa película tem tensão superficial, que chamaremos de
Passo 2
Explicando o conceito-chave: tensão superficial.
A tensão superficial é a energia necessária para aumentar a área da superfície por unidade de área, ou alternativamente a força por unidade de comprimento que age ao longo da borda de uma superfície. Suas unidades são newton por metro (
) ou joule por metro quadrado (
). Intuitivamente, a superfície age como uma “membrana” que puxa para dentro, então para equilibrar essa força é preciso haver uma diferença de pressão entre os lados da superfície.
A tensão superficial
Passo 3
Estratégia de cálculo (método da energia virtual / trabalho):
Se fizermos uma pequena variação do raio da bolha , o trabalho realizado pela diferença de pressão entre interior e exterior deve igualar o aumento da energia da superfície (porque aumentar o raio aumenta a área da película e, portanto, sua energia).
Se fizermos uma pequena variação do raio da bolha
Volume da esfera:
Variação infinitesimal do volume quando
aumenta em
:
Área de uma superfície esférica (apenas uma face):
Uma bolha de sabão tem duas superfícies (interna e externa), logo área total de filme é:
Variação infinitesimal da área total ao aumentar
em
:
Passo 4
Calcular trabalho da diferença de pressão e variação de energia superficial:
Trabalho realizado pela diferença de pressão ao aumentar o volume em
:
Trabalho realizado pela diferença de pressão
Aumento da energia superficial (energia =
área):
Em equilíbrio mecânico (pequena variação virtual), o trabalho da pressão deve igualar o aumento da energia superficial:
Passo 5
Simplificar e isolar
: cancelar
dos dois lados:
Dividindo por
:
Como
resulta positiva, concluímos que a pressão dentro da bolha é maior que a pressão fora. Observação comparativa: para uma gota líquida isolada (apenas uma interface líquido-ar) a fórmula seria
; na bolha há o fator
extra porque existem duas superfícies.
Passo 6
Intuição física curta e incentivo: a película puxa para dentro por causa da tensão superficial; para impedir que a bolha colapse, a pressão interna precisa ser maior. Pronto — agora você sabe não só o sentido da diferença de pressão, mas também a expressão quantitativa. Vai dar bom na prova!
Resposta
A pressão dentro é maior do que a pressão fora;