2-57C What is the capillary effect? What is it caused by? How is it affected by the contact angle?

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) o que é o efeito capilar, (2) do que ele é causado e (3) como ele é afetado pelo ângulo de contato. As informações relevantes que já sabemos do enunciado são somente essas perguntas — nada mais foi dado. Vou explicar conceitualmente e também mostrar a fórmula que relaciona a elevação/abatimento capilar com o ângulo de contato, derivando passo a passo para que você consiga aplicar no dia da prova.

Passo 2

Entendendo tensão superficial (a ideia central). A tensão superficial é uma força por unidade de comprimento que age na superfície de um líquido devido às forças intermoleculares. Pense nas moléculas no interior do líquido: elas são puxadas igualmente em todas as direções (cohesão). Já as moléculas na superfície sentem um desequilíbrio e isso se manifesta como uma “membrana” elástica na superfície — é a tensão superficial, que costuma ser denotada por \gamma.
O que \gamma significa: é a energia necessária para aumentar a área superficial por unidade de área ou, equivalente, a força (em N) atuando ao longo de uma linha de comprimento unitário (em m). Ex.: para água à temperatura ambiente \gamma\approx 0{,}072\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Adesão versus coesão e definição do ângulo de contato. Quando um líquido toca uma superfície sólida há duas tendências: adesão (atração líquido-sólido) e coesão (atração líquido-líquido). O ângulo de contato \theta é o ângulo que a superfície livre do líquido faz com a superfície sólida, medido dentro do líquido.
A equação de Young relaciona os três termos de energia superficial:
\gamma_{SG} = \gamma_{SL} + \gamma_{LG}\cos\theta
onde \gamma_{SG} é tensão superficial sólido-vapor, \gamma_{SL} é tensão sólido-líquido e \gamma_{LG} é a tensão líquido-vapor (que eu chamei antes de \gamma). Reescrevendo,
\cos\theta = \frac{\gamma_{SG}-\gamma_{SL}}{\gamma_{LG}}.
Interpretação prática:
  • Se \theta<90^\circ então \cos\theta>0: o líquido adere bem ao sólido e “molha” a parede (ex.: água em vidro).
  • Se \theta>90^\circ então \cos\theta<0: o líquido não molha a parede (ex.: mercúrio em vidro).
  • Se \theta=90^\circ então \cos\theta=0: nenhum efeito capilar.

Passo 4

Estratégia para achar a elevação/abatimento capilar: balanço de forças (jeito direto e fácil para a prova). Imagine um tubo capilar vertical de raio r mergulhado num líquido que tem densidade \rho. O líquido sobe (ou abaixa) no tubo até uma altura h onde duas coisas se equilibram:
  • Força vertical para cima devida à tensão superficial agindo ao redor do perímetro do tubo.
  • Peso da coluna de líquido que está acima do nível externo do líquido (força para baixo).
Vamos calcular cada termo.

Passo 5

Força vertical da tensão superficial. A tensão superficial ao longo da linha de contato (circunferência de raio r) fornece uma força tangencial de magnitude \gamma por unidade de comprimento. A componente vertical dessa força é \gamma\cos\theta por unidade de comprimento (porque a força está dirigida ao longo da superfície formando ângulo \theta com a parede). O comprimento total da linha de contato é 2\pi r. Logo a força vertical resultante para cima é
F_\text{tensão} = 2\pi r\,\gamma\cos\theta.ã
Expliquei: \gamma é força por comprimento; \cos\theta pega só a componente vertical; e multiplica-se pelo perímetro 2\pi r.

Passo 6

Peso da coluna de líquido. A massa da coluna de altura h e área da seção transversal \pi r^2 é \rho\pi r^2 h. O peso é essa massa vezes g:
W = \rho\pi r^2 h\,g.

Passo 7

Igualando forças para equilíbrio. Em equilíbrio a força vertical para cima da tensão superficial equilibra o peso:
2\pi r\,\gamma\cos\theta = \rho\pi r^2 h\,g.
Simplificando \pi r dos dois lados:
2\gamma\cos\theta = \rho r h g.
Isolando h,
h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
Expliquei: essa é a fórmula prática que aparece em provas. Todas as variáveis:
  • \gamma: tensão superficial do líquido ( \mathrm{N/m}),
  • \theta: ângulo de contato (radianos ou graus, mas usado em \cos),
  • \rho: densidade do líquido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • r: raio interno do tubo capilar ( \mathrm{m}),
  • h: altura de elevação positiva (se \cos\theta>0) ou profundidade de abatimento se h sair negativo (quando \cos\theta<0).

Passo 8

Interpretação da fórmula e efeito do ângulo de contato. Observe da fórmula:
  • h é proporcional a \cos\theta. Assim:
    • Se \theta<90^\circ então \cos\theta>0 e h>0: o líquido sobe no tubo (elevação capilar).
    • Se \theta>90^\circ então \cos\theta<0 e h<0: o líquido fica abaixado no tubo (abatimento, como no caso do mercúrio).
    • Se \theta=90^\circ então \cos\theta=0 e h=0: não há efeito capilar.
  • h é inversamente proporcional ao raio r: tubos mais finos produzem elevações maiores (por isso “capilar” = relacionado a fios finos).
  • h aumenta com \gamma e diminui com \rho e g.

Passo 9

Derivação alternativa (curvatura e pressão — visão pela equação de Young–Laplace). A superfície curva do menisco produz uma diferença de pressão entre interior do líquido e exterior dada por
\Delta p = \gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right).
Para um menisco aproximadamente esférico em um tubo circular, isso leva a \Delta p=2\gamma/R. A relação geométrica entre o raio de curvatura R, o raio do tubo r e o ângulo \theta R=\dfrac{r}{\cos\theta} (essa relação vem da geometria do cap), então
\Delta p = \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.
Equilibrando \Delta p com a pressão hidrostática \rho g h obtém-se a mesma expressão
\rho g h = \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.
A vantagem dessa visão é conectar a curvatura do menisco à diferença de pressão (útil em problemas envolvendo interfaces curvadas).

Passo 10

Exemplo numérico rápido (para ganhar intuição). Água: \gamma=0{,}072\\ \mathrm{N/m}, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, tubo de raio r=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \theta\approx0^\circ (água molha o vidro). Aplicando:
h=\frac{2\cdot0{,}072\cdot\cos0^\circ}{1000\cdot9{,}81\cdot 1{,}0\times10^{-3}}\approx 0{,}0147\\ \mathrm{m}=1{,}47\\ \mathrm{cm}.
Isso mostra que tubos finos produzem elevações de centímetros, coerente com observações.

Passo 11

Exemplos práticos e conclusão didática. Exemplos:
  • Água em vidro: \theta pequeno \Rightarrow sobe no tubo (capilaridade positiva).
  • Mercúrio em vidro: \theta grande (maior que 90^\circ) \Rightarrow abaixa no tubo (capilaridade negativa).
    Na prova: se pedirem identificar subida/descida olhe o sinal de \cos\theta; se pedirem dependência com o raio, cite a inversa 1/r. Use a derivação por equilíbrio de forças quando quiser uma resposta rápida e limpa.

Resposta

O efeito capilar é a subida ou o abaixamento de um líquido dentro de um tubo fino (ou entre superfícies próximas) em relação ao nível externo do líquido.
É causado pela tensão superficial do líquido e pela interação adesiva entre o líquido e a superfície sólida (competição adesão versus coesão), que faz com que a superfície livre se curve e gere uma força vertical.
O efeito é afetado pelo ângulo de contato \theta segundo a lei
h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r},
portanto (i) se \theta<90^\circ ( \cos\theta>0) o líquido sobe; (ii) se \theta>90^\circ ( \cos\theta<0) o líquido abaixa; (iii) se \theta=90^\circ não há efeito capilar.

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