57-64 Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial indicada
.
Informações relevantes: a função é soma de dois termos monômios em e
. A notação
significa que devemos diferenciar em relação a
duas vezes e depois em relação a
(ou seja, aplicar
sobre
). Não há outras condições ou dados ocultos.
Informações relevantes: a função é soma de dois termos monômios em
Passo 2
O que é derivada parcial: para derivar parcialmente em relação a uma variável (por exemplo,
) tratamos a outra variável (aqui
) como constante. Regras úteis que vamos usar: linearidade (a derivada de soma é soma das derivadas) e regra da potência (se
então
). Para um termo que é produto de uma função de
por uma função de
, ao derivar em
a parte em
entra como constante multiplicativa.
Exemplo rápido: se
, então
porque
é constante ao derivar em
.
Passo 3
Calculemos a primeira derivada parcial em
,
. Aplicando linearidade e tratando
como constante:
Derivando termo a termo:
- Para
: é constante, então a derivada em é (pois a derivada de é ). - Para
: é constante, a derivada de é , logo a derivada é .
Portanto,
Passo 4
Agora precisamos de
, a segunda derivada parcial em
. Isso significa derivar
novamente em
, sempre tratando
como constante.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
em é porque não depende de . - A derivada de
em : é constante, derivada de é , então resulta .
Logo
Passo 6
Finalmente, devemos obter
, ou seja, derivar
em relação a
. Agora
é tratado como constante e usamos a regra da potência em
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
-
é constante (em relação a ), e a derivada de é .
Portanto