57-64 Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=3 x y^{4}+x^{3} y^{2} ; f_{x x y}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=3x y^{4}+x^{3}y^{2} e pede a derivada parcial indicada \displaystyle f_{x x y}.
Informações relevantes: a função é soma de dois termos monômios em x e y. A notação \displaystyle f_{x x y} significa que devemos diferenciar em relação a x duas vezes e depois em relação a y (ou seja, aplicar \partial/\partial y sobre \partial^{2}f/\partial x^{2}). Não há outras condições ou dados ocultos.

Passo 2

O que é derivada parcial: para derivar parcialmente em relação a uma variável (por exemplo, x) tratamos a outra variável (aqui y) como constante. Regras úteis que vamos usar: linearidade (a derivada de soma é soma das derivadas) e regra da potência (se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}). Para um termo que é produto de uma função de x por uma função de y, ao derivar em x a parte em y entra como constante multiplicativa.
Exemplo rápido: se h(x,y)=5x^2 y^3, então \displaystyle h_x = 10 x y^3 porque y^3 é constante ao derivar em x.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada parcial em x, \displaystyle f_x. Aplicando linearidade e tratando y como constante:
f(x,y)=3x y^{4}+x^{3}y^{2}.
Derivando termo a termo:
  • Para \displaystyle 3x y^{4}: y^{4} é constante, então a derivada em x é \displaystyle 3 y^{4} (pois a derivada de x é 1).
  • Para \displaystyle x^{3}y^{2}: y^{2} é constante, a derivada de x^{3} é 3x^{2}, logo a derivada é \displaystyle 3x^{2}y^{2}.
Portanto,
\displaystyle f_x = 3 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}.

Passo 4

Agora precisamos de \displaystyle f_{xx}, a segunda derivada parcial em x. Isso significa derivar \displaystyle f_x novamente em x, sempre tratando y como constante.

Passo 5

Derivando \displaystyle f_x = 3 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} em relação a x:
  • A derivada de \displaystyle 3 y^{4} em x é 0 porque não depende de x.
  • A derivada de \displaystyle 3 x^{2} y^{2} em x: y^{2} é constante, derivada de 3x^{2} é 6x, então resulta \displaystyle 6 x y^{2}.
Logo
\displaystyle f_{xx} = 6 x y^{2}.

Passo 6

Finalmente, devemos obter \displaystyle f_{x x y}, ou seja, derivar \displaystyle f_{xx} em relação a y. Agora x é tratado como constante e usamos a regra da potência em y.

Passo 7

Derivando \displaystyle f_{xx}=6 x y^{2} em relação a y:
  • 6x é constante (em relação a y), e a derivada de y^{2} é 2y.
    Portanto
\displaystyle f_{x x y} = 6x \cdot 2y = 12 x y.

Resposta

12 x y

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