Mostre que cada uma das seguintes funções é a solução da equação da onda
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é solução da equação
Dados e o que precisa ser verificado:
- A função dependente das variáveis espaço
e tempo é . -
e são constantes (números). - Preciso verificar que, para todo
e , a segunda derivada parcial de em relação a é igual a vezes a segunda derivada parcial de em relação a ; ou seja, mostrar que .
Passo 2
Breve revisão das regras que vou usar (explicando como aplicar na prova):
- Derivada parcial em
: se então . Isso é porque ao derivar em relação a tratamos como constante. - Derivada parcial em
: se então . - Regra da cadeia: se
então . Usarei isto para (com ) e para (com ). - Fórmulas básicas:
e .
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
.
A função é produto de
e
. Então, aplicando
e a regra da cadeia para
:
Portanto,
Passo 4
Calcular a segunda derivada parcial em relação a
, i.e.
.
Derivamos
em relação a
. Aqui
é constante ao derivar em
, então
Aplicando a regra da cadeia em
:
Logo
Passo 5
Calcular as derivadas parciais em relação a
necessárias para
.
Primeira derivada em
:
Usando a regra da cadeia para
:
Portanto
Agora a segunda derivada em
:
Aqui
é constante ao derivar em
, então
E
. Assim
Passo 6
Comparar
e
.
Já temos
e
Multiplicando
por
dá
Portanto
para todos
.
Passo 7
Interpretação rápida (como lembrar na prova):
- Funções do tipo
são construídas por separação de variáveis e frequentemente produzem exatamente esse balanço de fatores e que fazem . - Num exemplo concreto, se
e , temos e ambos os lados da equação valem , confirmando na prática.
Resposta
A função
satisfaz
.