Mostre que cada uma das seguintes funções é a solução da equação da onda u_{t t}=a^{2} u_{\alpha}.
u=\operatorname{sen}(k x) \operatorname{sen}(a k t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u=\sin(kx)\sin(akt)
é solução da equação
u_{t t}=a^{2}u_{xx}.
Dados e o que precisa ser verificado:
  • A função dependente das variáveis espaço x e tempo t é u(x,t)=\sin(kx)\sin(akt).
  • k e a são constantes (números).
  • Preciso verificar que, para todo x e t, a segunda derivada parcial de u em relação a t é igual a a^{2} vezes a segunda derivada parcial de u em relação a x; ou seja, mostrar que u_{tt}=a^{2}u_{xx}.

Passo 2

Breve revisão das regras que vou usar (explicando como aplicar na prova):
  • Derivada parcial em t: se u(x,t)=f(x)\,g(t) então \displaystyle u_{t}=f(x)\,g'(t). Isso é porque ao derivar em relação a t tratamos x como constante.
  • Derivada parcial em x: se u(x,t)=f(x)\,g(t) então \displaystyle u_{x}=f'(x)\,g(t).
  • Regra da cadeia: se h(t)=\sin(\varphi(t)) então h'(t)=\cos(\varphi(t))\cdot\varphi'(t). Usarei isto para \sin(akt) (com \varphi(t)=akt) e para \sin(kx) (com \varphi(x)=kx).
  • Fórmulas básicas: \dfrac{d}{dz}\sin(z)=\cos(z) e \dfrac{d}{dz}\cos(z)=-\sin(z).

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a t.
A função é produto de f(x)=\sin(kx) e g(t)=\sin(akt). Então, aplicando u_{t}=f(x)\,g'(t) e a regra da cadeia para g'(t):
g'(t)=\frac{d}{dt}\sin(akt)=\cos(akt)\cdot\frac{d}{dt}(akt)=\cos(akt)\cdot ak.
Portanto,
u_{t}=\sin(kx)\cdot (ak\cos(akt)).

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial em relação a t, i.e. u_{tt}.
Derivamos u_{t}=\sin(kx)\cdot ak\cos(akt) em relação a t. Aqui \sin(kx) é constante ao derivar em t, então
u_{tt}=\sin(kx)\cdot ak\cdot\frac{d}{dt}\cos(akt).
Aplicando a regra da cadeia em \cos(akt):
\frac{d}{dt}\cos(akt)=-\sin(akt)\cdot\frac{d}{dt}(akt)=-\sin(akt)\cdot ak.
Logo
u_{tt}=\sin(kx)\cdot ak\cdot\big(-ak\sin(akt)\big) = -a^{2}k^{2}\sin(kx)\sin(akt).

Passo 5

Calcular as derivadas parciais em relação a x necessárias para u_{xx}.
Primeira derivada em x:
u_{x}=\frac{d}{dx}\big(\sin(kx)\big)\cdot\sin(akt).
Usando a regra da cadeia para \sin(kx):
\frac{d}{dx}\sin(kx)=\cos(kx)\cdot\frac{d}{dx}(kx)=\cos(kx)\cdot k.
Portanto
u_{x}=k\cos(kx)\sin(akt).
Agora a segunda derivada em x:
u_{xx}=\frac{d}{dx}\big(k\cos(kx)\sin(akt)\big).
Aqui \sin(akt) é constante ao derivar em x, então
u_{xx}=\sin(akt)\cdot k\cdot\frac{d}{dx}\cos(kx).
E \dfrac{d}{dx}\cos(kx)=-\sin(kx)\cdot\frac{d}{dx}(kx)=-\sin(kx)\cdot k. Assim
u_{xx}=\sin(akt)\cdot k\cdot(-k\sin(kx)) = -k^{2}\sin(kx)\sin(akt).

Passo 6

Comparar u_{tt} e a^{2}u_{xx}.
Já temos
u_{tt}=-a^{2}k^{2}\sin(kx)\sin(akt)
e
u_{xx}=-k^{2}\sin(kx)\sin(akt).
Multiplicando u_{xx} por a^{2}
a^{2}u_{xx}=a^{2}\big(-k^{2}\sin(kx)\sin(akt)\big)=-a^{2}k^{2}\sin(kx)\sin(akt).
Portanto
u_{tt}=a^{2}u_{xx}
para todos x,t.

Passo 7

Interpretação rápida (como lembrar na prova):
  • Funções do tipo \sin(kx)\sin(akt) são construídas por separação de variáveis e frequentemente produzem exatamente esse balanço de fatores k e a que fazem u_{tt}=a^{2}u_{xx}.
  • Num exemplo concreto, se k=1 e a=1, temos u=\sin x\sin t e ambos os lados da equação valem -\sin x\sin t, confirmando na prática.

Resposta

A função u=\sin(kx)\sin(akt) satisfaz u_{tt}=a^{2}u_{xx}.

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