Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor \mathbf{v}.
f(x, y)=1+2 x \sqrt{y}, \quad(3,4), \quad \mathrm{v}=\langle 4,-3\rangle

Passo 1

Enunciado e o que nos pedem:
  • Função dada: f(x,y)=1+2x\sqrt{y}.
  • Ponto onde vamos calcular a derivada direcional: (3,4).
  • Vetor que indica direção e sentido: \mathbf{v}=\langle 4,-3\rangle.
  • Pergunta: determinar a derivada direcional de f no ponto (3,4) na direção e sentido do vetor \mathbf{v}. Ou seja, calcular D_{\mathbf{u}}f(3,4) onde \mathbf{u} é o vetor unitário com o mesmo sentido de \mathbf{v}.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos aplicá-la (explicação didática):
  • A derivada direcional de uma função de duas variáveis f(x,y) numa direção unitária \mathbf{u}=\langle u_1,u_2\rangle mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir do ponto dado na direção de \mathbf{u}.
  • Fórmula prática e muito útil (que vamos usar): a derivada direcional em \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de f no ponto e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{u}.
  • Aqui \nabla f(x,y)=\langle f_x(x,y),\,f_y(x,y)\rangle é o vetor formado pelas derivadas parciais. Vou calcular as parciais, avaliar no ponto (3,4) e projetar sobre o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.
  • Importante: precisamos usar o vetor unitário \mathbf{u} (norma 1), porque a derivada direcional padrão é definida em termos de velocidade 1 nessa direção. Então primeiro normalizamos \mathbf{v}.

Passo 3

Normalizar o vetor \mathbf{v}:
  • Norma de \mathbf{v}=\langle 4,-3\rangle é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
  • Logo o vetor unitário com o mesmo sentido é
\mathbf{u}=\frac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}=\frac{1}{5}\langle 4,-3\rangle=\left\langle \frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f (aula rápida de diferenciação):
  • Reescrevendo f de forma conveniente: f(x,y)=1+2x y^{1/2}.
  • Para f_x (derivada parcial em relação a x) tratamos y como constante e derivamos em x. Como 2x y^{1/2} é produto de 2y^{1/2} (constante em x) por x, a derivada é simplesmente 2y^{1/2}. Portanto
f_x(x,y)=2\sqrt{y}.
  • Para f_y (derivada parcial em relação a y) tratamos x como constante e derivamos 2x y^{1/2} em y. Usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dy}y^{1/2}=\dfrac{1}{2}y^{-1/2}. Assim
f_y(x,y)=2x\cdot \frac{1}{2}y^{-1/2}=x\,y^{-1/2}=\frac{x}{\sqrt{y}}.
  • Pequeno lembrete: f_x diz como f muda quando só variamos x; f_y diz como f muda quando só variamos y. O gradiente junta essas informações.

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto (3,4):
  • Primeiro calcule \sqrt{4}=2.
  • Então
f_x(3,4)=2\sqrt{4}=2\cdot 2=4,
f_y(3,4)=\frac{3}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}.
  • Logo o gradiente no ponto é
\nabla f(3,4)=\left\langle 4,\frac{3}{2}\right\rangle.

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando produto escalar:
  • Fórmula aplicada:
D_{\mathbf{u}}f(3,4)=\nabla f(3,4)\cdot \mathbf{u} =\left\langle 4,\frac{3}{2}\right\rangle\cdot \left\langle \frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right\rangle.
  • Fazendo o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}f(3,4)=4\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right).
  • Calcule passo a passo: 4\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{5}. E \frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{9}{10}.
  • Somando as frações (colocando denominador comum 10):
\frac{16}{5}-\frac{9}{10}=\frac{32}{10}-\frac{9}{10}=\frac{23}{10}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo:
  • O valor \dfrac{23}{10} é a taxa de variação instantânea de f no ponto (3,4) quando nos movemos naquela direção com velocidade unitária. Em termos práticos, se eu der um pequeno passo na direção de \mathbf{v} (normalizado), f aumenta aproximadamente 2{,}3 unidades por unidade de deslocamento nessa direção.
  • Bom trabalho por aguentar até aqui — você já sabe aplicar gradiente, normalização e produto escalar, que é o caminho padrão em provas.

Resposta

\dfrac{23}{10}

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