Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor
.
Passo 1
Enunciado e o que nos pedem:
- Função dada:
. - Ponto onde vamos calcular a derivada direcional:
. - Vetor que indica direção e sentido:
. - Pergunta: determinar a derivada direcional de
no ponto na direção e sentido do vetor . Ou seja, calcular onde é o vetor unitário com o mesmo sentido de .
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos aplicá-la (explicação didática):
- A derivada direcional de uma função de duas variáveis
numa direção unitária mede a taxa de variação de quando nos movemos a partir do ponto dado na direção de . - Fórmula prática e muito útil (que vamos usar): a derivada direcional em
é o produto escalar entre o gradiente de no ponto e :
- Aqui
é o vetor formado pelas derivadas parciais. Vou calcular as parciais, avaliar no ponto e projetar sobre o vetor unitário na direção de . - Importante: precisamos usar o vetor unitário
(norma ), porque a derivada direcional padrão é definida em termos de velocidade 1 nessa direção. Então primeiro normalizamos .
Passo 3
Normalizar o vetor
:
- Norma de
é
- Logo o vetor unitário com o mesmo sentido é
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
(aula rápida de diferenciação):
- Reescrevendo
de forma conveniente: . - Para
(derivada parcial em relação a ) tratamos como constante e derivamos em . Como é produto de (constante em ) por , a derivada é simplesmente . Portanto
- Para
(derivada parcial em relação a ) tratamos como constante e derivamos em . Usamos a regra da potência: . Assim
- Pequeno lembrete:
diz como muda quando só variamos ; diz como muda quando só variamos . O gradiente junta essas informações.
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
:
- Primeiro calcule
. - Então
- Logo o gradiente no ponto é
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando produto escalar:
- Fórmula aplicada:
- Fazendo o produto escalar componente a componente:
- Calcule passo a passo:
. E . - Somando as frações (colocando denominador comum
):
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo:
- O valor
é a taxa de variação instantânea de no ponto quando nos movemos naquela direção com velocidade unitária. Em termos práticos, se eu der um pequeno passo na direção de (normalizado), aumenta aproximadamente unidades por unidade de deslocamento nessa direção. - Bom trabalho por aguentar até aqui — você já sabe aplicar gradiente, normalização e produto escalar, que é o caminho padrão em provas.