27-30 Utilize a Equação 6 para determinar d y / d x.
\sqrt{x y}=1+x^{2} y

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sqrt{x y}=1+x^{2} y
e pede para determinar \dfrac{d y}{d x}.
Informações relevantes: a relação é implícita entre x e y (ou seja, y depende de x mas não está isolada). Não é pedido um valor numérico, mas a expressão de \dfrac{d y}{d x} em termos de x e y.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Primeiro, escrevo o lado esquerdo como potência:
\sqrt{x y}=(x y)^{1/2}.
Quando derivamos uma composição u^{1/2} em que u=u(x), usamos a regra da cadeia: a derivada é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u'. Aqui u(x)=x y(x).

Passo 3

Derivada do interior u(x)=x y(x): aplicamos a regra do produto. A regra do produto diz que \dfrac{d}{dx}[x\cdot y(x)]=x\cdot y'(x)+1\cdot y(x). Então
\frac{d}{dx}(x y)=y + x\frac{d y}{d x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big((x y)^{1/2}\big)=\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\big(y + x y'\big),
onde escrevo y'=\dfrac{d y}{d x} para simplificar a notação.

Passo 5

Agora a derivada do lado direito 1+x^{2}y: a derivada de 1 é 0. Para x^{2}y(x) usamos produto novamente:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\cdot y + x^{2}\cdot y'.

Passo 6

Igualando as derivadas dos dois lados:
\frac{1}{2}(x y)^{-1/2}\big(y + x y'\big)=2x y + x^{2} y'.

Passo 7

Multiplico ambos os lados por 2(x y)^{1/2} para eliminar o fator fracionário e a potência negativa:
y + x y' = 2(x y)^{1/2}\big(2x y + x^{2} y'\big).
Distribuindo no lado direito:
y + x y' = 4x y (x y)^{1/2} + 2x^{2} y' (x y)^{1/2}.

Passo 8

Agrupo os termos que contêm y' num lado e os que não têm no outro:
x y' - 2x^{2}(x y)^{1/2} y' = 4x y (x y)^{1/2} - y.

Passo 9

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\big(x - 2x^{2}(x y)^{1/2}\big) = 4x y (x y)^{1/2} - y.

Passo 10

Isolo y' dividindo:
y' = \frac{4x y (x y)^{1/2} - y}{\,x - 2x^{2}(x y)^{1/2}\,}.

Passo 11

Posso fatorar y no numerador e x no denominador para ficar mais legível:
y' = \frac{y\big(4x (x y)^{1/2} - 1\big)}{x\big(1 - 2x (x y)^{1/2}\big)}.

Passo 12

Agora uso a própria equação original para substituir (x y)^{1/2} pelo que ela vale: pela equação inicial (x y)^{1/2}=1+x^{2}y. Substituindo:
4x (x y)^{1/2}-1 = 4x(1+x^{2}y)-1 = 4x + 4x^{3}y - 1,
1-2x (x y)^{1/2} = 1-2x(1+x^{2}y) = 1-2x-2x^{3}y.

Passo 13

Substituindo essas expressões em y':
y' = \frac{y\big(4x + 4x^{3}y - 1\big)}{x\big(1 - 2x - 2x^{3}y\big)}.

Resposta

\displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{y\big(4x+4x^{3}y-1\big)}{x\big(1-2x-2x^{3}y\big)}

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