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Utilize a Equação 6 para determinar
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
.
Informações relevantes: a relação é implícita entre e
(ou seja,
depende de
mas não está isolada). Não é pedido um valor numérico, mas a expressão de
em termos de
e
.
Informações relevantes: a relação é implícita entre
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Primeiro, escrevo o lado esquerdo como potência:
Quando derivamos uma composição
em que
, usamos a regra da cadeia: a derivada é
. Aqui
.
Passo 3
Derivada do interior
: aplicamos a regra do produto. A regra do produto diz que
. Então
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo:
onde escrevo
para simplificar a notação.
Passo 5
Agora a derivada do lado direito
: a derivada de
é
. Para
usamos produto novamente:
Passo 6
Igualando as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o fator fracionário e a potência negativa:
Distribuindo no lado direito:
Passo 8
Agrupo os termos que contêm
num lado e os que não têm no outro:
Passo 9
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 10
Isolo
dividindo:
Passo 11
Posso fatorar
no numerador e
no denominador para ficar mais legível:
Passo 12
Agora uso a própria equação original para substituir
pelo que ela vale: pela equação inicial
. Substituindo:
Passo 13
Substituindo essas expressões em
: