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Um poliedro convexo tem 9 faces: uma triangular, quatro retangulares, duas pentagonais, uma hexagonal e uma heptagonal.
A quantidade de vértices desse poliedro é
(A) 18.
(B) 17.
(C) 16 .
(D) 15 .

Passo 1

O enunciado pede: “A quantidade de vértices desse poliedro é …?” e oferece alternativas A a D. As informações dadas sobre o poliedro convexo são as faces:
  • 1 face triangular (tem 3 lados);
  • 4 faces retangulares (cada uma tem 4 lados);
  • 2 faces pentagonais (cada uma tem 5 lados);
  • 1 face hexagonal (tem 6 lados);
  • 1 face heptagonal (tem 7 lados).
O número total de faces é 9 (confere: 1+4+2+1+1=9). O que falta encontrar é o número de vértices V desse poliedro.

Passo 2

Vamos relacionar arestas e lados das faces. Cada aresta do poliedro é um lado de duas faces (uma aresta pertence a exatamente duas faces num poliedro convexo). Então, se somarmos o número de lados de todas as faces, cada aresta será contada duas vezes. Em símbolos:
\text{soma dos lados de todas as faces} = 2E,
onde E é o número de arestas. Essa é uma propriedade fundamental e fácil de entender: pensar nas arestas sendo “compartilhadas” entre pares de faces.

Passo 3

Calcular a soma dos lados das faces usando os dados do enunciado. Somando face por face:
\begin{aligned} \text{triangular} &\Rightarrow 3,\\\ \text{4 retangulares} &\Rightarrow 4\times 4 = 16,\\\ \text{2 pentagonais} &\Rightarrow 2\times 5 = 10,\\\ \text{1 hexagonal} &\Rightarrow 6,\\\ \text{1 heptagonal} &\Rightarrow 7. \end{aligned}
Somando tudo:
3 + 16 + 10 + 6 + 7 = 42.
Pelo item anterior, essa soma vale 2E. Assim:
2E = 42.

Passo 4

Resolver para E. Da equação 2E=42 segue:
E = \frac{42}{2} = 21.
Portanto o poliedro tem 21 arestas.

Passo 5

Agora usar a fórmula de Euler para poliedros convexo: ela relaciona vértices V, arestas E e faces F por
V - E + F = 2.
Explicando rápido: V é o número de vértices, E o número de arestas e F o número de faces; para qualquer poliedro convexo essa igualdade vale — é uma ferramenta clássica para esse tipo de questão.

Passo 6

Substituir E=21 e F=9 na fórmula de Euler para obter V:
V - 21 + 9 = 2.
Isolando V:
V = 2 + 21 - 9 = 14.
Logo o número de vértices do poliedro é 14.

Passo 7

Interpretando o resultado em relação às alternativas fornecidas: as alternativas eram 18,\,17,\,16,\,15. O valor correto obtido por cálculo é 14, que não aparece entre as opções. Portanto a resposta correta é 14, e nenhuma das alternativas listadas corresponde ao valor correto.

Resposta

14

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