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Um poliedro convexo tem 9 faces: uma triangular, quatro retangulares, duas pentagonais, uma hexagonal e uma heptagonal.
A quantidade de vértices desse poliedro é
(A) 18.
(B) 17.
(C) 16 .
(D) 15 .
A quantidade de vértices desse poliedro é
(A) 18.
(B) 17.
(C) 16 .
(D) 15 .
Passo 1
O enunciado pede: “A quantidade de vértices desse poliedro é …?” e oferece alternativas
a
. As informações dadas sobre o poliedro convexo são as faces:
-
face triangular (tem lados); -
faces retangulares (cada uma tem lados); -
faces pentagonais (cada uma tem lados); -
face hexagonal (tem lados); -
face heptagonal (tem lados).
O número total de faces é
(confere:
). O que falta encontrar é o número de vértices
desse poliedro.
Passo 2
Vamos relacionar arestas e lados das faces. Cada aresta do poliedro é um lado de duas faces (uma aresta pertence a exatamente duas faces num poliedro convexo). Então, se somarmos o número de lados de todas as faces, cada aresta será contada duas vezes. Em símbolos:
onde
é o número de arestas. Essa é uma propriedade fundamental e fácil de entender: pensar nas arestas sendo “compartilhadas” entre pares de faces.
Passo 3
Calcular a soma dos lados das faces usando os dados do enunciado. Somando face por face:
Somando tudo:
Pelo item anterior, essa soma vale
. Assim:
Passo 4
Resolver para
. Da equação
segue:
Portanto o poliedro tem
arestas.
Passo 5
Agora usar a fórmula de Euler para poliedros convexo: ela relaciona vértices
, arestas
e faces
por
Explicando rápido:
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces; para qualquer poliedro convexo essa igualdade vale — é uma ferramenta clássica para esse tipo de questão.
Passo 6
Substituir
e
na fórmula de Euler para obter
:
Isolando
:
Logo o número de vértices do poliedro é
.
Passo 7
Interpretando o resultado em relação às alternativas fornecidas: as alternativas eram
. O valor correto obtido por cálculo é
, que não aparece entre as opções. Portanto a resposta correta é
, e nenhuma das alternativas listadas corresponde ao valor correto.