6.57

Usando o modelo de Bohr, calcule: (a) a energia total do átomo de hidrogênio no estado fundamental; (b) o comprimento de onda do fóton quando o átomo experimenta uma transição do estado estacionário de número quântico n=3 para o estado fundamental (referente à segunda raia da série de Lyman).

Passo 1

O enunciado pede, usando o modelo de Bohr, (a) a energia total do átomo de hidrogênio no estado fundamental e (b) o comprimento de onda do fóton emitido na transição de n=3 para n=1. Para isso vamos usar a fórmula dos níveis de energia de Bohr e a relação entre energia do fóton e comprimento de onda.

Passo 2

No modelo de Bohr, os níveis de energia de hidrogênio são
En = -me e^48varepsilon0^2 h^2,1n^2 = -13,6,eVn^2

Passo 3

Para o estado fundamental ( n=1),
E1 = -13,6,eV1^2 = -13,6,eV
Convertendo para joules ( 1 eV = 1,602times10^-19 J):
E1 = -13,6 times 1,602times10^-19,J = -2,179times10^-18,J

Passo 4

A energia do fóton emitido na transição de n=3 para n=1 é
De<a E = E1 - E3,
onde
E3 = -13,6,eV3^2 = -1,511,eV
Logo,
De<a E = (-13,6) - (-1,511),eV = 12,089,eV
e em joules
De<a E = 12,089 times 1,602times10^-19,J = 1,936times10^-18,J

Passo 5

O comprimento de onda do fóton é dado por
lambda = hcDe<a E,
com h = 6,626times10^-34,Jcdots e c = 3,00times10^8,m/s. Assim,
lambda = 6,626times10^-34times3,00times10^81,936times10^-18,m = 1,026times10^-7,m = 102,6,nm

Resposta

(a) E1 = -2,179times10^-18,J (equivalente a -13,6,eV).
(b) lambda = 102,6,nm.

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