1.57 Verifique que os pontos A(1,1,0), B(3,1,0) e C(1,3,0) são vértices de um triângulo retângulo e calcule seus ângulos.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,1,0), B(3,1,0) e C(1,3,0). Precisamos mostrar que o triângulo ABC é retângulo (usando produto escalar para verificar ortogonalidade) e depois calcular os três ângulos internos (usando comprimentos dos lados e lei dos cossenos).

Passo 2

Calculemos os vetores a partir de A:
AB = B - A = (3-1,;1-1,;0-0) = (2,0,0),
AC = C - A = (1-1,;3-1,;0-0) = (0,2,0)

Passo 3

Verifiquemos o produto escalar:
ABcdotAC = (2)cdot(0) + (0)cdot(2) + (0)cdot(0) = 0
Como o produto escalar é zero, ABperp AC. Logo, o ângulo em A é reto, isto é, ang<= A = 90^circ.

Passo 4

Calculemos agora os comprimentos dos lados:
|AB| = raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = 2, |AC| = raiz0^2 + 2^2 + 0^2 = 2,
|BC| = raiz(1-3)^2 + (3-1)^2 + (0-0)^2 = raiz(-2)^2 + 2^2 = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Para os ângulos em B e em C usamos a lei dos cossenos. Por exemplo, em B:
cosang<= B = |AB|^2 + |BC|^2 - |AC|^22,|AB|,|BC| = 2^2 + (2raiz2)^2 - 2^22cdot2cdot2raiz2 = 4 + 8 - 48raiz2 = 88raiz2 = 1raiz2
Logo ang<= B = 45^circ. De forma análoga, ang<= C = 45^circ.

Resposta

ang<= A = 90^circ, ang<= B = 45^circ, ang<= C = 45^circ

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