Abaixo faremos duas questões não relacionadas a respeito de distribuições de suporte compacto.
Existe uma distribuição não nula
tal que
, em que
é uma função analítica em
? (Use os resultados vistos em sala de aula e nas listas)
Existe uma distribuição não nula
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma distribuição não nula
de suporte compacto que seja dada por
onde
e
é analítica em
. Vamos usar o Teorema da Identidade para funções analíticas.
Passo 2
Recordando o Teorema da Identidade: se
é analítica num aberto conexo
e
se anula em um subconjunto aberto não vazio de
, então
em todo
.
Passo 3
Se
tem suporte compacto, então com
compacto. Logo, no aberto
(não vazio) temos
. Pelo Teorema da Identidade,
deve ser identicamente zero em
.
Passo 4
Concluímos que a única distribuição
de suporte compacto com
analítica é a distribuição nula, pois qualquer
analítica de suporte compacto é
.
Resposta
Não existe distribuição não nula em
da forma
com
analítica em
.