Abaixo faremos duas questões não relacionadas a respeito de distribuições de suporte compacto.
Existe uma distribuição não nula u in E^prime(Omega) tal que u=Tf, em que f: Omega C é uma função analítica em Omega ? (Use os resultados vistos em sala de aula e nas listas)

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma distribuição não nula uinE'(Omega) de suporte compacto que seja dada por
u=Tf,
onde Tf(varphi)=integralOmegaf(x),varphi(x),dx e f:OmegatoC é analítica em Omega. Vamos usar o Teorema da Identidade para funções analíticas.

Passo 2

Recordando o Teorema da Identidade: se f é analítica num aberto conexo Omega e f se anula em um subconjunto aberto não vazio de Omega, então fequiv0 em todo Omega.

Passo 3

Se tem suporte compacto, então com compacto. Logo, no aberto (não vazio) temos . Pelo Teorema da Identidade, deve ser identicamente zero em .

Passo 4

Concluímos que a única distribuição u=Tf de suporte compacto com f analítica é a distribuição nula, pois qualquer f analítica de suporte compacto é fequiv0.

Resposta

Não existe distribuição não nula em E'(Omega) da forma Tf com f analítica em Omega.

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