3-59C Consider a circular surface subjected to hydrostatic forces by a constant density liquid. If the magnitudes of the horizontal and vertical components of the resultant hydrostatic force are determined, explain how you would find the line of action of this force.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: explicar como encontrar a linha de ação do resultante hidrostático sobre uma superfície circular, tendo já as magnitudes das componentes horizontal e vertical do resultante.
  • Dados (explicitados): as magnitudes R_h (componente horizontal) e R_v (componente vertical) já foram determinadas. Não temos valores numéricos – queremos o procedimento para localizar geometricamente a linha de ação do resultante resultante \vec R.
  • Informação implícita que usaremos: a força hidrostática total pode ser decomposta em duas componentes perpendiculares entre si, horizontal e vertical, cujas linhas de ação podem ser localizadas separadamente (usando projeções da superfície). A linha de ação do vetor resultante passa por um ponto na superfície cuja posição deve ser encontrada por equilíbrio de momentos.

Passo 2

Entender onde atuam as componentes separadas (revisão conceitual importante).
  • Componente horizontal R_h: vale a força hidrostática sobre a projeção vertical da superfície. A linha de ação de R_h passa pelo centro de pressão da área projetada na orientação vertical. Para uma área plana qualquer, a profundidade do centro de pressão (distância vertical desde a superfície livre) é dada por a fórmula do centro de pressão:
h_{cp}=\bar h+\frac{I_{\bar y}}{\bar h\,A},
onde \bar h é a profundidade do centróide da projeção vertical, A é a área da projeção vertical, e I_{\bar y} é o segundo momento de área da projeção vertical em relação a um eixo horizontal que passe pelo centróide da projeção.
Explicação rápida das variáveis: \bar h é o valor médio de profundidade da área projetada; I_{\bar y} mede como a área se espalha em torno do eixo horizontal do centróide; essa razão corrige o fato de que a pressão aumenta com a profundidade e desloca a resultante para abaixo do centróide.
  • Componente vertical R_v: vale a força hidrostática sobre a projeção horizontal da superfície. A linha de ação de R_v passa pelo centróide da projeção horizontal. Para uma superfície plana inclinada, a projeção horizontal é uma figura (geralmente um círculo ou elipse) cujo centróide coincide com a projeção do centróide da superfície original.

Passo 3

Como obter, na prática, os pontos de aplicação das componentes.
  • Localize o ponto P_h onde a linha de ação de R_h intercepta a superfície: faça a projeção vertical da superfície sobre um plano vertical, calcule o centro de pressão dessa projeção (usando \bar h, A e I_{\bar y} como no passo anterior) e transfira a posição desse centro de pressão de volta para a superfície original (projeção inversa). O vetor posição de P_h em relação a um ponto de referência O na superfície será chamado \vec r_h.
  • Localize o ponto P_v onde a linha de ação de R_v intercepta a superfície: faça a projeção horizontal da superfície, calcule o centróide dessa projeção (geralmente a projeção do centro geométrico da superfície). O vetor posição de P_v em relação ao mesmo ponto de referência O será \vec r_v.
Observação empática: sei que isso parece muita projeção e notação; o truque é escolher um ponto de referência óbvio (por exemplo, o centro do círculo) e expressar \vec r_h e \vec r_v em coordenadas desse ponto — daí as contas ficam direitinhas.

Passo 4

Calcular o resultante e sua direção.
  • A magnitude do resultante é
R=\sqrt{R_h^{2}+R_v^{2}}.
  • A direção (ângulo medido a partir da horizontal, por exemplo) é
\theta=\arctan\!\left(\frac{R_v}{R_h}\right).
Essas duas informações dizem quanto vale a força resultante e para onde ela aponta, mas ainda não dizem por onde ela passa (a linha de ação).

Passo 5

Princípio para localizar a linha de ação: equilíbrio de momentos.
  • Escolha um ponto de referência O no plano da superfície (por exemplo, o centro do círculo). Calcule o momento em relação a O causado pela distribuição de pressão (ou, equivalente aqui, pelos dois resultados conhecidos): o momento total em torno do eixo perpendicular ao plano que passa por O é a soma dos momentos das componentes:
M_O = \vec r_h\times \vec R_h \;+\; \vec r_v\times \vec R_v,
onde \times é o produto vetorial (para uma força em plano, o produto vetorial reduz-se a um escalar momento orientado normal ao plano). Na prática isso significa calcular cada momento escalar como M_{h}=R_h\,d_{h} e M_{v}=R_v\,d_{v}, em que d_h e d_v são as distâncias perpendiculares (no plano) de O até as linhas de ação de R_h e R_v, com sinal apropriado.
  • A linha de ação do resultante \vec R deve produzir o mesmo momento em relação a O. Se a linha de ação de \vec R passa a uma distância perpendicular d de O (distância medida no plano, perpendicular à direção de \vec R), então
M_O = R\,d.
Logo
d=\frac{M_O}{R}.
Explicação didática: o momento é a “capacidade de girar” em torno de O. A distribuição de pressão gira tanto quanto a força resultante que age a uma certa distância. Igualando momentos encontramos onde a resultante deve ficar para equivaler ao efeito rotacional da distribuição.

Passo 6

Converter a distância perpendicular d em coordenadas sobre a superfície (posição final).
  • Se você precisar das coordenadas (x_R,y_R) do ponto de interseção da linha de ação com a superfície (no sistema de eixos no plano com origem em O), proceda assim: conheça a direção de \vec R (ângulo \theta do passo 4). A distância d é medida perpendicular à \vec R; portanto as componentes do vetor posição do ponto de ação que são deslocamentos ao longo dos eixos do plano podem ser obtidas projetando d na base apropriada. Um modo prático: a linha de ação de \vec R passa por um ponto cuja posição satisfaz (em componente ortonormal no plano)
x_R = x_O + d\cos(\theta+\tfrac{\pi}{2}) = x_O - d\sin\theta,
y_R = y_O + d\sin(\theta+\tfrac{\pi}{2}) = y_O + d\cos\theta,
onde (x_O,y_O) são as coordenadas de O. Ajuste os sinais conforme o sistema de referência que você adotou.
  • Em palavras simples: calcule d=M_O/R; descendo/perpendicular à direção da resultante a partir da origem O por essa distância acha-se onde a resultante corta a superfície. Se precisar de projeções separadas ao longo x e y, use as fórmulas acima.

Passo 7

Procedimento prático-resumido (passo a passo que você pode seguir na prova):
  1. Escolha O (centro do círculo é uma boa escolha).
  2. Localize geometricamente P_h (linha de ação de R_h) usando a projeção vertical e a fórmula do centro de pressão; obtenha \vec r_h ou a distância perpendicular d_h de O até R_h.
  3. Localize geometricamente P_v (linha de ação de R_v) usando a projeção horizontal e o centróide; obtenha \vec r_v ou d_v.
  4. Calcule o momento total M_O = R_h d_h + R_v d_v (com sinais).
  5. Calcule R=\sqrt{R_h^2+R_v^2} e então d=M_O/R.
  6. A partir de d e do ângulo \theta=\arctan(R_v/R_h) determine as coordenadas do ponto de interseção da linha de ação com a superfície (usar as fórmulas de projeção do passo 6).
Coragem: se na prova te der as magnitudes e te pedirem a distância a partir do centro, basta seguir esses passos e as contas são só aritmética e algumas fórmulas de momentos.

Resposta

A linha de ação do resultante corta a superfície a uma distância perpendicular
d=\frac{M_O}{R}
do ponto de referência O, onde
R=\sqrt{R_h^{2}+R_v^{2}}, \qquad M_O=\vec r_h\times\vec R_h+\vec r_v\times\vec R_v
(equivalentemente M_O=R_h d_h+R_v d_v com os sinais), e \vec r_h e \vec r_v são obtidos localizando o centro de pressão da projeção vertical (para R_h) e o centróide da projeção horizontal (para R_v).

Exercícios relacionados