3-58C Consider a submerged curved surface. Explain how you would determine the vertical component of the hydrostatic force acting on this surface.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a componente vertical da força hidrostática que atua sobre uma superfície curva submersa. As informações relevantes (implícitas na situação típica) são:
  • A superfície está totalmente submersa em um fluido cuja superfície livre é horizontal.
  • A pressão hidrostática no fluido varia com a profundidade segundo a lei p=\rho g y, onde \rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e y é a profundidade vertical medida a partir da superfície livre.
  • A superfície curva tem uma área total A. Vamos precisar também da sua projeção sobre um plano horizontal, que chamarei de A_p, e da distribuição de profundidades dessa projeção.
    O que exatamente é pedido: obter a expressão e o procedimento que permitem calcular a magnitude (e, se desejado, a linha de ação) da componente vertical da força hidrostática resultante sobre a superfície curva.

Passo 2

Começo com um elemento infinitesimal de área na superfície curva e escrevo a força hidrostática diferencial aplicada ali. Seja dA um elemento de área da superfície curva e p a pressão naquele ponto. A força diferencial sobre dA tem direção normal à superfície e módulo
dF = p\,dA.
Queremos apenas a componente vertical dessa força. Se \theta é o ângulo entre a normal da superfície e a direção vertical (ou seja, \cos\theta é a projeção da normal na vertical), então a componente vertical diferencial é
dF_v = dF \cos\theta = p\,dA\cos\theta.

Passo 3

Interpreto geometricamente dA\cos\theta. A projeção horizontal do elemento dA sobre o plano horizontal tem área
dA_p = dA\cos\theta.
Isso é apenas a relação geométrica entre uma área inclinada e sua projeção horizontal (quando a projeção é ortogonal, o fator é \cos\theta). Portanto a expressão do passo anterior fica muito simples:
dF_v = p\,dA_p.
Ou seja: a contribuição vertical de cada pedaço da superfície curva é igual à pressão naquele ponto multiplicada pela área do seu elemento projetado horizontalmente.

Passo 4

Agora integro sobre toda a superfície curva. Somando todas as contribuições verticais obtém-se
F_v=\int_{\text{superfície}} dF_v=\int_{\text{superfície}} p\,dA_p.íí
Mas a integração sobre a superfície curva com o integrando p\,dA_p é equivalente a integrar sobre a área projetada horizontal A_p, porque cada dA_p pertence a essa projeção. Assim posso escrever
F_v=\int_{A_p} p\,dA_p.
Isto significa: a componente vertical da força sobre a superfície curva é idêntica à força hidrostática que atuaria sobre a área plana horizontal igual à projeção da superfície curva.

Passo 5

Uso a expressão da pressão hidrostática p=\rho g y, com y sendo a profundidade vertical do ponto correspondente na projeção horizontal. Substituindo,
F_v=\int_{A_p} \rho g\,y\,dA_p=\rho g\int_{A_p} y\,dA_p.
Defino a profundidade do centróide daquela área projetada como
\bar{y}_p=\frac{1}{A_p}\int_{A_p} y\,dA_p,
onde A_p=\int_{A_p} dA_p é a área da projeção horizontal. Assim a integral acima fica
F_v=\rho g A_p \bar{y}_p.
Interpretação prática: para obter a componente vertical basta calcular a área horizontal projetada A_p e a profundidade do seu centróide \bar{y}_p; multiplicando por \rho g obtemos F_v.

Passo 6

Observações úteis para a prova e para localizar a linha de ação da componente vertical:
  • A magnitude é dada por
F_v=\rho g A_p \bar{y}_p.
  • A linha de ação (ponto de aplicação vertical) dessa componente vertical coincide com o centro de pressão da área projetada A_p. A profundidade do centro de pressão é obtida por
y_{cp}=\frac{\displaystyle\int_{A_p} y^2 dA_p}{\displaystyle\int_{A_p} y\,dA_p}
que, usando o momento de inércia da área projetada, pode ser reescrita como
y_{cp}=\bar{y}_p+\frac{I_{p}}{\bar{y}_p A_p},
onde I_{p} é o momento de inércia da área projetada A_p em relação a um eixo horizontal passando pelo centróide da projeção (atenção ao eixo correto ao aplicar a fórmula).
  • Intuição: cada pedaço da superfície “empurra” na vertical como se fosse sobre a sua projeção horizontal; portanto basta trabalhar com essa projeção.

Passo 7

Resumo prático passo a passo para aplicar numa questão de prova:
  1. Desenhe a superfície curva e determine sua projeção sobre o plano horizontal; calcule A_p.
  2. Encontre a profundidade do centróide da projeção \bar{y}_p (medida a partir da superfície livre).
  3. Calcule F_v=\rho g A_p \bar{y}_p.
  4. Se precisar da linha de ação, calcule y_{cp} por \displaystyle y_{cp}=\frac{\int_{A_p} y^2 dA_p}{\int_{A_p} y\,dA_p} ou usando a fórmula com o momento de inércia.
Vai dar certo — segue esse roteiro na prova e, se quiser, me manda um desenho que eu te guio nos cálculos passo a passo.

Resposta

F_v=\rho g A_p \bar{y}_p
y_{cp}=\dfrac{\displaystyle\int_{A_p} y^2 dA_p}{\displaystyle\int_{A_p} y\,dA_p}=\bar{y}_p+\dfrac{I_{p}}{\bar{y}_p A_p}

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