3-58C Consider a submerged curved surface. Explain how you would determine the vertical component of the hydrostatic force acting on this surface.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a componente vertical da força hidrostática que atua sobre uma superfície curva submersa. As informações relevantes (implícitas na situação típica) são:
- A superfície está totalmente submersa em um fluido cuja superfície livre é horizontal.
- A pressão hidrostática no fluido varia com a profundidade segundo a lei
, onde é a densidade do fluido, é a aceleração da gravidade e é a profundidade vertical medida a partir da superfície livre. - A superfície curva tem uma área total
. Vamos precisar também da sua projeção sobre um plano horizontal, que chamarei de , e da distribuição de profundidades dessa projeção.
O que exatamente é pedido: obter a expressão e o procedimento que permitem calcular a magnitude (e, se desejado, a linha de ação) da componente vertical da força hidrostática resultante sobre a superfície curva.
Passo 2
Começo com um elemento infinitesimal de área na superfície curva e escrevo a força hidrostática diferencial aplicada ali. Seja
um elemento de área da superfície curva e
a pressão naquele ponto. A força diferencial sobre
tem direção normal à superfície e módulo
Queremos apenas a componente vertical dessa força. Se
é o ângulo entre a normal da superfície e a direção vertical (ou seja,
é a projeção da normal na vertical), então a componente vertical diferencial é
Passo 3
Interpreto geometricamente
. A projeção horizontal do elemento
sobre o plano horizontal tem área
Isso é apenas a relação geométrica entre uma área inclinada e sua projeção horizontal (quando a projeção é ortogonal, o fator é
). Portanto a expressão do passo anterior fica muito simples:
Ou seja: a contribuição vertical de cada pedaço da superfície curva é igual à pressão naquele ponto multiplicada pela área do seu elemento projetado horizontalmente.
Passo 4
Agora integro sobre toda a superfície curva. Somando todas as contribuições verticais obtém-se
Mas a integração sobre a superfície curva com o integrando
é equivalente a integrar sobre a área projetada horizontal
, porque cada
pertence a essa projeção. Assim posso escrever
Isto significa: a componente vertical da força sobre a superfície curva é idêntica à força hidrostática que atuaria sobre a área plana horizontal igual à projeção da superfície curva.
Passo 5
Uso a expressão da pressão hidrostática
, com
sendo a profundidade vertical do ponto correspondente na projeção horizontal. Substituindo,
Defino a profundidade do centróide daquela área projetada como
onde
é a área da projeção horizontal. Assim a integral acima fica
Interpretação prática: para obter a componente vertical basta calcular a área horizontal projetada
e a profundidade do seu centróide
; multiplicando por
obtemos
.
Passo 6
Observações úteis para a prova e para localizar a linha de ação da componente vertical:
- A magnitude é dada por
- A linha de ação (ponto de aplicação vertical) dessa componente vertical coincide com o centro de pressão da área projetada
. A profundidade do centro de pressão é obtida por
que, usando o momento de inércia da área projetada, pode ser reescrita como
onde
é o momento de inércia da área projetada
em relação a um eixo horizontal passando pelo centróide da projeção (atenção ao eixo correto ao aplicar a fórmula).
- Intuição: cada pedaço da superfície “empurra” na vertical como se fosse sobre a sua projeção horizontal; portanto basta trabalhar com essa projeção.
Passo 7
Resumo prático passo a passo para aplicar numa questão de prova:
- Desenhe a superfície curva e determine sua projeção sobre o plano horizontal; calcule
. - Encontre a profundidade do centróide da projeção
(medida a partir da superfície livre). - Calcule
. - Se precisar da linha de ação, calcule
por ou usando a fórmula com o momento de inércia.
Vai dar certo — segue esse roteiro na prova e, se quiser, me manda um desenho que eu te guio nos cálculos passo a passo.