-58 Em um circuito R C série, \mathscr{E}=12,0 \mathrm{~V}, R=1,40 \mathrm{M} \Omega e C=1,80 \mu \mathrm{~F}. (a) Calcule a constante de tempo. (b) Determine a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado. (c) Qual é o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor de 16,0 \mu \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RC com bateria de força eletromotriz \mathscr{E}=12,0\\ \mathrm{V}, resistência R=1,40\\ \mathrm{M}\Omega e capacitância C=1,80\\ \mu\mathrm{F}. As perguntas são:
  1. Calcular a constante de tempo do circuito (ou seja, \tau).
  2. Determinar a carga máxima que o capacitor pode receber quando totalmente carregado.
  3. Calcular o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja 16,0\\ \mu\mathrm{C}.
Informações relevantes dadas:
\mathscr{E}=12,0\\ \mathrm{V},\quad R=1,40\times10^{6}\\ \Omega,\quad C=1,80\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.

Passo 2

Vamos entender e calcular a constante de tempo \tau. Explicação do conceito: \tau é a escala de tempo que governa a velocidade de carga (ou descarga) do capacitor num circuito RC. Ela tem dimensão de tempo e é dada pela fórmula
\tau = R\,C.
Aqui R é a resistência em ohms e C é a capacitância em farads. A unidade resulta em segundos porque \Omega\cdot\mathrm{F}=\mathrm{s}. Agora aplicamos os valores numéricos:
\tau = \bigl(1,40\times10^{6}\bigr)\cdot\bigl(1,80\times10^{-6}\bigr).
Calcule passo a passo: 1,40\times1,80=2,52 e os expoentes 10^{6}\cdot10^{-6}=10^{0}=1. Portanto
\tau = 2,52\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora a carga máxima Q_{\text{max}} que o capacitor pode atingir quando totalmente carregado. Conceito/fórmula: quando o capacitor está em equilíbrio (corrente nula), a diferença de potencial no capacitor é igual à tensão da fonte \mathscr{E}. A relação entre carga, capacitância e tensão é
Q = C\,V,
onde Q é a carga em coulombs, C a capacitância e V a tensão no capacitor. Para a carga máxima usamos V=\mathscr{E}, então
Q_{\text{max}} = C\,\mathscr{E}.
Substituindo os valores:
Q_{\text{max}} = \bigl(1,80\times10^{-6}\bigr)\cdot(12,0) = 21,6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Convertendo para microsiemens (ou melhor, para microcoulombs): 21,6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=21,6\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 4

Vamos apresentar a fórmula de carga do capacitor em função do tempo durante a carga e explicar de onde ela vem (aula curta). No circuito série RC durante a carga a equação diferencial que descreve a carga q(t) é obtida por Kirchhoff:
\mathscr{E}-\frac{q(t)}{C}-R\frac{dq}{dt}=0.
Isolando a derivada:
\frac{dq}{dt}=\frac{1}{R}\Bigl(\mathscr{E}-\frac{q}{C}\Bigr).
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Resolvendo (separando variáveis ou reconhecendo a solução padrão) obtemos a forma conhecida:
q(t)=Q_{\text{max}}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
onde Q_{\text{max}}=C\mathscr{E} e \tau=RC. Interpretação: no instante t=0 temos q(0)=0 e quando t\to\infty o termo exponencial vai a zero e q\to Q_{\text{max}}.

Passo 5

Usamos a fórmula de carga para achar o tempo t tal que q(t)=16,0\\ \mu\mathrm{C}. Primeiro escrevemos a equação e isolamos t:
q(t)=Q_{\text{max}}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
Rearranjando para o exponencial:
1-e^{-t/\tau}=\frac{q(t)}{Q_{\text{max}}}
e^{-t/\tau}=1-\frac{q(t)}{Q_{\text{max}}}.
Tomando o logaritmo natural e isolando t:
-\frac{t}{\tau}=\ln\!\Bigl(1-\frac{q(t)}{Q_{\text{max}}}\Bigr)
t=-\tau\ln\!\Bigl(1-\frac{q(t)}{Q_{\text{max}}}\Bigr).

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Já temos \tau=2,52\\ \mathrm{s} e Q_{\text{max}}=21,6\\ \mu\mathrm{C}. Tomando q(t)=16,0\\ \mu\mathrm{C},
\frac{q(t)}{Q_{\text{max}}}=\frac{16,0}{21,6}=\frac{20}{27}\approx0,7407407.
Então
1-\frac{q(t)}{Q_{\text{max}}}=1-\frac{20}{27}=\frac{7}{27}\approx0,2592593.
Calculamos o logaritmo:
\ln\!\Bigl(\frac{7}{27}\Bigr)\approx -1,34993.
Finalmente
t = -\bigl(2,52\\ \mathrm{s}\bigr)\cdot\bigl(-1,34993\bigr)\approx 3,40\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \tau=2,52\\ \mathrm{s}
(b) Q_{\text{max}}=21,6\\ \mu\mathrm{C}
(c) t\approx3,40\\ \mathrm{s}

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