-58 Em um circuito
série,
e
. (a) Calcule a constante de tempo. (b) Determine a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado. (c) Qual é o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor de
?
Passo 1
O enunciado descreve um circuito série
com bateria de força eletromotriz
, resistência
e capacitância
. As perguntas são:
- Calcular a constante de tempo do circuito (ou seja,
). - Determinar a carga máxima que o capacitor pode receber quando totalmente carregado.
- Calcular o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja
.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos entender e calcular a constante de tempo
. Explicação do conceito:
é a escala de tempo que governa a velocidade de carga (ou descarga) do capacitor num circuito
. Ela tem dimensão de tempo e é dada pela fórmula
Aqui
é a resistência em ohms e
é a capacitância em farads. A unidade resulta em segundos porque
. Agora aplicamos os valores numéricos:
Calcule passo a passo:
e os expoentes
. Portanto
Passo 3
Agora a carga máxima
que o capacitor pode atingir quando totalmente carregado. Conceito/fórmula: quando o capacitor está em equilíbrio (corrente nula), a diferença de potencial no capacitor é igual à tensão da fonte
. A relação entre carga, capacitância e tensão é
onde
é a carga em coulombs,
a capacitância e
a tensão no capacitor. Para a carga máxima usamos
, então
Substituindo os valores:
Convertendo para microsiemens (ou melhor, para microcoulombs):
.
Passo 4
Vamos apresentar a fórmula de carga do capacitor em função do tempo durante a carga e explicar de onde ela vem (aula curta). No circuito série
durante a carga a equação diferencial que descreve a carga
é obtida por Kirchhoff:
Isolando a derivada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Resolvendo (separando variáveis ou reconhecendo a solução padrão) obtemos a forma conhecida:
onde
e
. Interpretação: no instante
temos
e quando
o termo exponencial vai a zero e
.
Passo 5
Usamos a fórmula de carga para achar o tempo
tal que
. Primeiro escrevemos a equação e isolamos
:
Rearranjando para o exponencial:
Tomando o logaritmo natural e isolando
:
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Já temos
e
. Tomando
,
Então
Calculamos o logaritmo:
Finalmente
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)