… 64 Um capacitor com uma diferença de potencial inicial de 100 V começa a ser descarregado por meio de um resistor quando uma chave é fechada no instante
. No instante
, a diferença de potencial no capacitor é
. (a) Qual é a constante de tempo do circuito? (b) Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante
?
Passo 1
O enunciado dá um capacitor que começa a descarregar em
. As informações fornecidas são:
As perguntas são:
(a) Qual é a constante de tempo do circuito?
(b) Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante ?
(a) Qual é a constante de tempo
(b) Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante
Passo 2
Relação fundamental para descarga de um capacitor por um resistor: a tensão no capacitor decai exponencialmente segundo a fórmula
onde:
-
é a tensão no capacitor no tempo , -
é a tensão inicial (em ), -
é a constante de tempo do circuito, dada por (produto da resistência pelo capacitor ).\n
Interpretação rápida de: após um tempo a tensão cai para (aproximadamente ). Isso dá intuição de quão rápido o circuito descarrega.
Passo 3
Usamos a fórmula de descarga e substituímos o ponto conhecido em
:
Primeiro simplificamos dividindo ambos os lados por
:
Agora aplicamos o logaritmo natural (função
). Lembrando que
e
, temos:
Mas
, então
Isolando
,
Passo 4
Calculamos numericamente
. Usando
e
,
Logo
Arredondando com um número razoável de algarismos significativos:
Passo 5
Agora queremos
. Podemos usar diretamente a fórmula
com o valor de
encontrado. Mas há uma forma mais elegante que evita recalcular
com muitas etapas: como já sabemos que
, podemos escrever
Portanto
Simplificando potências:
Passo 6
Calculamos numericamente
. Escrevendo em termos do logaritmo:
Arredondando de maneira consistente,
o que também pode ser escrito em notação científica como
.
Resposta
(a)
(b)
(b)