… 64 Um capacitor com uma diferença de potencial inicial de 100 V começa a ser descarregado por meio de um resistor quando uma chave é fechada no instante t=0. No instante t=10,0 \mathrm{~s}, a diferença de potencial no capacitor é 1,00 \mathrm{~V}. (a) Qual é a constante de tempo do circuito? (b) Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante t=17,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor que começa a descarregar em t=0. As informações fornecidas são:
V_0 = 100\\ \mathrm{V}\quad\text{(diferença de potencial inicial)}ç
V(10{,}0\\ \mathrm{s}) = 1{,}00\\ \mathrm{V}
As perguntas são:
(a) Qual é a constante de tempo \tau do circuito?
(b) Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante t=17{,}0\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Relação fundamental para descarga de um capacitor por um resistor: a tensão no capacitor decai exponencialmente segundo a fórmula
V(t)=V_0\,e^{-t/\tau},
onde:
  • V(t) é a tensão no capacitor no tempo t,
  • V_0 é a tensão inicial (em t=0),
  • \tau é a constante de tempo do circuito, dada por \tau=RC (produto da resistência R pelo capacitor C).\n
    Interpretação rápida de \tau: após um tempo \tau a tensão cai para V_0/e (aproximadamente 0{,}368\,V_0). Isso dá intuição de quão rápido o circuito descarrega.

Passo 3

Usamos a fórmula de descarga e substituímos o ponto conhecido em t=10{,}0\\ \mathrm{s}:
1{,}00 = 100\,e^{-10/\tau}.
Primeiro simplificamos dividindo ambos os lados por 100:
\frac{1}{100}=e^{-10/\tau}.
Agora aplicamos o logaritmo natural (função \ln). Lembrando que \ln(e^{x})=x e \ln(a^{b})=b\ln a, temos:
\ln\!\left(\frac{1}{100}\right) = \ln\!\big(e^{-10/\tau}\big) = -\frac{10}{\tau}.
Mas \ln(1/100) = -\ln(100), então
-\frac{10}{\tau} = -\ln(100).
Isolando \tau,
\tau = \frac{10}{\ln(100)}.

Passo 4

Calculamos numericamente \ln(100). Usando \ln(100)=2\ln(10) e \ln(10)\approx 2{,}302585093,
\ln(100)=2\cdot 2{,}302585093 = 4{,}605170186.
Logo
\tau = \frac{10}{4{,}605170186} \approx 2{,}171472409\\ \mathrm{s}.
Arredondando com um número razoável de algarismos significativos:
\tau \approx 2{,}17\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora queremos V(17{,}0\\ \mathrm{s}). Podemos usar diretamente a fórmula
V(17)=100\,e^{-17/\tau},
com o valor de \tau encontrado. Mas há uma forma mais elegante que evita recalcular \tau com muitas etapas: como já sabemos que e^{-10/\tau}=1/100, podemos escrever
e^{-17/\tau}=\big(e^{-10/\tau}\big)^{17/10}=\left(\frac{1}{100}\right)^{17/10}.
Portanto
V(17)=100\left(\frac{1}{100}\right)^{17/10}.
Simplificando potências:
V(17)=100^{1-17/10}=100^{-0{,}7}.

Passo 6

Calculamos numericamente 100^{-0{,}7}. Escrevendo em termos do logaritmo:
100^{-0{,}7}=e^{-0{,}7\ln(100)}=e^{-0{,}7\cdot 4{,}605170186}=e^{-3{,}22361913}\approx 0{,}039835.
Arredondando de maneira consistente,
V(17)\approx 0{,}0398\\ \mathrm{V},
o que também pode ser escrito em notação científica como 3{,}98\times 10^{-2}\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) \tau = 2{,}17\\ \mathrm{s}
(b) V(17{,}0\\ \mathrm{s}) = 0{,}0398\\ \mathrm{V}

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