59 O tanque de gasolina de um automóvel é abastecido com 97 \% de sua capacidade total, \mathrm{V}_{\mathrm{T}}. O processo de abastecimento foi realizado a uma temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}. O carro foi transportado por uma carreta até uma localidade onde a temperatura é de 40^{\circ} \mathrm{C}. Com o aumento da temperatura, poderá acorrer um derramamento de combustível, devido à expansão deste provocada pela variação de temperatura. Considere que os coeficientes de expansão térmica da gasolina e do tanque são respectivamente \mathrm{V}_{\mathrm{G}}=9.10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e \mathrm{V}_{\mathrm{T}}=1.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, ao aquecer o combustível de 0^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C}, ocorre derramamento (transbordamento) do tanque e, se sim, quanto isso representa em relação ao volume do tanque. Informações fornecidas:
  • O tanque foi abastecido a 0^\circ\mathrm{C} até \,97\% da sua capacidade total \,V_T.
  • A variação de temperatura é de 0^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C}, ou seja \Delta T = 40^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente volumétrico de expansão da gasolina: \beta_g = 9\times 10^{-4}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}. (Usei \beta_g para identificar o coeficiente da gasolina.)
  • Coeficiente volumétrico de expansão do tanque (material do tanque): \beta_T = 1\times 10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}. (Usei \beta_T para identificar o coeficiente do tanque.)
    A pergunta implícita é: a nova quantidade de gasolina ocupada após o aquecimento é maior que o novo volume do tanque? Se sim, qual o volume derramado em função de V_T (ou em percentual)?

Passo 2

Explicando a física/fórmula básica (a dica de prova): para materiais submetidos a pequena variação de temperatura, o volume sofre expansão aproximadamente proporcional à temperatura, segundo a fórmula da expansão volumétrica:
V(T) = V_0\,(1 + \beta\,\Delta T),
onde:
  • V_0 é o volume inicial à temperatura de referência;
  • \beta é o coeficiente volumétrico de expansão do material (unidades ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C});
  • V(T) é o volume na temperatura final.
    Essa fórmula é usada direto em provas: multiplicar o volume inicial por 1+\beta\Delta T. Não é necessário derivar aqui; memorize essa forma e saiba aplicar substituindo os dados.

Passo 3

Identificar volumes iniciais e aplicar a fórmula:
  • Volume inicial da gasolina (à 0^\circ\mathrm{C}) é \,V_{g0} = 0{,}97\,V_T.
  • Após aquecimento até 40^\circ\mathrm{C}, o volume da gasolina será
V_g = V_{g0}\,(1 + \beta_g \Delta T).
Substituindo V_{g0} e \Delta T:
V_g = 0{,}97\,V_T \left(1 + \beta_g\cdot 40\right).

Passo 4

Calcular a variação percentual da gasolina:
\beta_g\cdot 40 = 9\times 10^{-4}\times 40 = 36\times 10^{-3} = 0{,}036.
Logo
1 + \beta_g\cdot 40 = 1{,}036.
Agora calcular V_g:
V_g = 0{,}97\,V_T \times 1{,}036.
Faço a multiplicação passo a passo (sem calculadora complexa):
0{,}97\times 1{,}036 = 0{,}97 + 0{,}97\times 0{,}036.
Calcular 0{,}97\times 0{,}036:
0{,}97\times 0{,}036 = 0{,}03492.
Somando:
0{,}97 + 0{,}03492 = 1{,}00492.
Portanto
V_g = 1{,}00492\,V_T.

Passo 5

Calcular o volume do tanque após aquecimento:
A capacidade inicial do tanque é V_T. Após aquecimento,
V_{tank\_final} = V_T\,(1 + \beta_T \Delta T).
Calcular \beta_T\cdot 40:
\beta_T\cdot 40 = 1\times 10^{-5}\times 40 = 4\times 10^{-4} = 0{,}0004.
Logo
V_{tank\_final} = V_T \times 1{,}0004 = 1{,}0004\,V_T.

Passo 6

Comparar volumes finais:
  • Volume da gasolina depois do aquecimento: V_g = 1{,}00492\,V_T.
  • Volume disponível no tanque depois do aquecimento: V_{tank\_final} = 1{,}0004\,V_T.
    Como 1{,}00492\,V_T > 1{,}0004\,V_T, a gasolina excede o volume do tanque e ocorrerá derramamento.
Calcular o volume derramado (diferença):
V_{derramado} = V_g - V_{tank\_final} = (1{,}00492 - 1{,}0004)\,V_T = 0{,}00452\,V_T.

Passo 7

Interpretar o resultado em percentual do volume do tanque:
\frac{V_{derramado}}{V_T} = 0{,}00452 = 0{,}452\% \text{ do } V_T.
Se preferir, como fração da gasolina inicial ( 0{,}97\,V_T):
\frac{V_{derramado}}{0{,}97\,V_T} \approx 0{,}00466 \approx 0{,}466\% \text{ da gasolina inicial.}

Resposta

Sim — ocorrerá derramamento; o volume derramado é 0{,}00452\,V_T, ou seja 0{,}452\% da capacidade do tanque.

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