59 O tanque de gasolina de um automóvel é abastecido com
de sua capacidade total,
. O processo de abastecimento foi realizado a uma temperatura de
. O carro foi transportado por uma carreta até uma localidade onde a temperatura é de
. Com o aumento da temperatura, poderá acorrer um derramamento de combustível, devido à expansão deste provocada pela variação de temperatura. Considere que os coeficientes de expansão térmica da gasolina e do tanque são respectivamente
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, ao aquecer o combustível de
para
, ocorre derramamento (transbordamento) do tanque e, se sim, quanto isso representa em relação ao volume do tanque. Informações fornecidas:
- O tanque foi abastecido a
até da sua capacidade total . - A variação de temperatura é de
para , ou seja . - Coeficiente volumétrico de expansão da gasolina:
. (Usei para identificar o coeficiente da gasolina.) - Coeficiente volumétrico de expansão do tanque (material do tanque):
. (Usei para identificar o coeficiente do tanque.)
A pergunta implícita é: a nova quantidade de gasolina ocupada após o aquecimento é maior que o novo volume do tanque? Se sim, qual o volume derramado em função de(ou em percentual)?
Passo 2
Explicando a física/fórmula básica (a dica de prova): para materiais submetidos a pequena variação de temperatura, o volume sofre expansão aproximadamente proporcional à temperatura, segundo a fórmula da expansão volumétrica:
onde:
-
é o volume inicial à temperatura de referência; -
é o coeficiente volumétrico de expansão do material (unidades ); -
é a variação de temperatura (em ); -
é o volume na temperatura final.
Essa fórmula é usada direto em provas: multiplicar o volume inicial por. Não é necessário derivar aqui; memorize essa forma e saiba aplicar substituindo os dados.
Passo 3
Identificar volumes iniciais e aplicar a fórmula:
- Volume inicial da gasolina (à
) é . - Após aquecimento até
, o volume da gasolina será
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular a variação percentual da gasolina:
Logo
Agora calcular
:
Faço a multiplicação passo a passo (sem calculadora complexa):
Calcular
:
Somando:
Portanto
Passo 5
Calcular o volume do tanque após aquecimento:
A capacidade inicial do tanque é . Após aquecimento,
A capacidade inicial do tanque é
Calcular
:
Logo
Passo 6
Comparar volumes finais:
- Volume da gasolina depois do aquecimento:
. - Volume disponível no tanque depois do aquecimento:
.
Como, a gasolina excede o volume do tanque e ocorrerá derramamento.
Calcular o volume derramado (diferença):
Passo 7
Interpretar o resultado em percentual do volume do tanque:
Se preferir, como fração da gasolina inicial (
):
Resposta
Sim — ocorrerá derramamento; o volume derramado é
, ou seja
da capacidade do tanque.