3.58 Sejam u1=(1,1,2), u2=(1,3,-2), u3=(4,-2,-1) de R^3. Mostre que u1, u2, u3 são ortogonais e escreva v como uma combinação linear de u1, u2, u3. (Sugestão: use coeficientes de Fourier.)
(a) v=(5,-5,9)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u1=(1,1,2), u2=(1,3,-2), u3=(4,-2,-1)
e pede (i) mostrar que são ortogonais e (ii) escrever
v=(5,-5,9)
como combinação linear de u1,u2,u3. Vamos usar o produto interno padrão em R^3 e o fato de que, em um sistema ortogonal, os coeficientes de Fourier são
ci=lang<= v,uirang<=lang<= ui,uirang<=

Passo 2

Calcular os produtos internos lang<= ui,ujrang<= para ineq j:
lang<= u1,u2rang<= =1cdot1+1cdot3+2cdot(-2)=1+3-4=0,
lang<= u1,u3rang<= =1cdot4+1cdot(-2)+2cdot(-1)=4-2-2=0,
lang<= u2,u3rang<= =1cdot4+3cdot(-2)+(-2)cdot(-1)=4-6+2=0
Como todos os produtos internos cruzados são zero, u1,u2,u3 são pairwise ortogonais.

Passo 3

Calcular as normas ao quadrado:
lang<= u1,u1rang<= =1^2+1^2+2^2=6, lang<= u2,u2rang<= =1^2+3^2+(-2)^2=14, lang<= u3,u3rang<= =4^2+(-2)^2+(-1)^2=21

Passo 4

Calcular os coeficientes de Fourier:
c1=lang<= v,u1rang<=lang<= u1,u1rang<= =5cdot1+(-5)cdot1+9cdot26 =5-5+186=3,
c2=lang<= v,u2rang<=lang<= u2,u2rang<= =5cdot1+(-5)cdot3+9cdot(-2)14 =5-15-1814=-2,
c3=lang<= v,u3rang<=lang<= u3,u3rang<= =5cdot4+(-5)cdot(-2)+9cdot(-1)21 =20+10-921=1

Passo 5

Escrever v como combinação linear:
v = c1,u1 + c2,u2 + c3,u3 =3,u1 -2,u2 +1,u3

Resposta

v = 3,u1 - 2,u2 + u3

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