Seja a reta r:(x, y, z)=(1,2,0)+(3 t, a t,-t) e o plano pi: x+2 y-z=0.
Determine o valor de a para que a reta seja paralela ao plano. Para esse valor, a reta está contida no plano?

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r:,(x,y,z)=(1,2,0)+(3t,;a,t,;-t)
e o plano
pi:;x+2y-z=0.
O conteúdo é posição relativa reta-plano: para achar a usamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano; depois verificamos se algum ponto da reta satisfaz a equação de pi.

Passo 2

O vetor diretor de r é vec v=(3,a,-1) e o vetor normal de pi é vec n=(1,2,-1). Para que a reta seja paralela ao plano, precisamos de
vec vcdotvec n = 0
Calculamos
vec vcdotvec n = 3cdot1 + acdot2 + (-1)cdot(-1) = 3 + 2a + 1 = 4 + 2a
Assim impomos 4+2a=0, o que dá
a = -2

Passo 3

Com a=-2, verificamos se a reta está contida em pi. Basta testar o ponto inicial (1,2,0) na equação do plano:
1 + 2cdot2 - 0 = 5 neq 0
Como não satisfaz x+2y-z=0, a reta não está contida em pi.

Resposta

a = -2. Para esse valor, a reta é paralela ao plano e não está contida nele.

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