Encontre a posição relativa entre os 3 planos:
pi1:-x+2 y+z=0, pi2:-2 x+4 y+2 z=3, pi3: x+y-2 z=1

Passo 1

O enunciado dá três planos em R^3:
pi1:-x+2y+z=0,
pi2:-2x+4y+2z=3,
pi3:x+y-2z=1.
Queremos entender como eles se posicionam: se são paralelos, coincidentes ou se se intersectam (em reta ou ponto). Para isso, vamos usar a ideia de vetor normal de cada plano e checar possíveis dependências lineares entre eles.

Passo 2

Calculemos os vetores normais:
n1 = (-1,,2,,1), n2 = (-2,,4,,2)
Repare que n2 = 2,n1. Isso significa que pi1 e pi2 são planos paralelos (mesma direção normal).
Para ver se são coincidentes, multiplicamos a equação de pi1 por 2:
-2x + 4y + 2z = 0
Como pi2 é -2x+4y+2z=3, os termos do lado direito são diferentes ( 0neq3), logo são planos paralelos distintos.

Passo 3

O vetor normal de pi3 é
n3 = (1,,1,,-2)
Se n3 fosse colinear com n1, existiria lambda tal que lambda(-1,2,1)=(1,1,-2).
Mas igualando coordenadas vemos que não há lambda que satisfaça todas as três igualdades simultâneas, então n3 não é paralelo a n1.
Logo pi3 não é paralela a pi1 nem a pi2 e, portanto, corta cada uma delas ao longo de uma reta.

Passo 4

Como pi1paral<=lpi2 mas pi3 os corta, obtemos duas retas de interseção:
ell1 = pi1cappi3 e ell2 = pi2cappi3.
Além disso, as direções de ell1 e ell2 são dadas por n1times n3 e n2times n3, que também são colineares, o que mostra que ell1paral<=lell2.
Portanto não há ponto comum aos três planos.

Resposta

pi1 e pi2 são paralelos e distintos.
pi3 não é paralelo a eles e corta cada um resultando em duas retas paralelas.
Não existe interseção única entre os três planos.

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