Encontre a posição relativa entre os 3 planos:
,
Passo 1
O enunciado dá três planos em
:
,
,
.
Queremos entender como eles se posicionam: se são paralelos, coincidentes ou se se intersectam (em reta ou ponto). Para isso, vamos usar a ideia de vetor normal de cada plano e checar possíveis dependências lineares entre eles.
Queremos entender como eles se posicionam: se são paralelos, coincidentes ou se se intersectam (em reta ou ponto). Para isso, vamos usar a ideia de vetor normal de cada plano e checar possíveis dependências lineares entre eles.
Passo 2
Calculemos os vetores normais:
Repare que
. Isso significa que
e
são planos paralelos (mesma direção normal).
Para ver se são coincidentes, multiplicamos a equação de por 2:
Para ver se são coincidentes, multiplicamos a equação de
Como
é
, os termos do lado direito são diferentes (
), logo são planos paralelos distintos.
Passo 3
O vetor normal de
é
Se
fosse colinear com
, existiria
tal que
.
Mas igualando coordenadas vemos que não há que satisfaça todas as três igualdades simultâneas, então
não é paralelo a
.
Logo não é paralela a
nem a
e, portanto, corta cada uma delas ao longo de uma reta.
Mas igualando coordenadas vemos que não há
Logo
Passo 4
Como
mas
os corta, obtemos duas retas de interseção:
e
.
Além disso, as direções de e
são dadas por
e
, que também são colineares, o que mostra que
.
Portanto não há ponto comum aos três planos.
Além disso, as direções de
Portanto não há ponto comum aos três planos.
Resposta
Não existe interseção única entre os três planos.