Encontre a posição relativa entre os 3 planos:
pi1: x+y+z=0, pi2: 2 x-y+3 z=1, pi3: x+3 y-z=2

Passo 1

O enunciado dá três planos em R^3:
pi1: x+y+z=0, pi2:2x-y+3z=1, pi3:x+3y-z=2
e pede a posição relativa entre eles (se são paralelos, coincidentes, intersectam numa reta ou num ponto). Vamos usar álgebra linear: extrair os vetores normais, verificar a independência linear (determinante não nulo) e, se houver interseção em ponto, resolver o sistema para encontrá-lo.

Passo 2

Os vetores normais são
n1=(1,1,1),
n2=(2,-1,3) e
n3=(1,3,-1).
Formamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
det 1 & 1 & 1 2 & -1 & 3 1 & 3 & -1 =1l((-1)(-1)-3cdot3r) -1l(2cdot(-1)-3cdot1r) +1l(2cdot3-(-1)cdot1r) =-8+5+7=4
Como det=4neq0, os três vetores normais são linearmente independentes.

Passo 3

Vetores normais independentes significam que os planos não são paralelos nem coincidentes e, portanto, se intersectam em um único ponto.

Passo 4

Para achar esse ponto, resolvemos o sistema
x+y+z=0, 2x-y+3z=1, x+3y-z=2
Da primeira equação vem z=-x-y. Substituindo nas outras:
2x - y +3(-x-y)=1 Rightarrow -x-4y=1 Rightarrow x+4y=-1,
x+3y -(-x-y)=2 Rightarrow 2x+4y=2 Rightarrow x+2y=1
Subtraindo,
(x+4y)-(x+2y)=-1-1 Rightarrow 2y=-2 Rightarrow y=-1
Então x+2(-1)=1Rightarrow x=3 e z=-3-(-1)=-2.

Resposta

Os três planos intersectam-se num único ponto, que é (3,-1,-2).

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