3.58 Sejam u1=(1,1,2), u2=(1,3,-2), u3=(4,-2,-1) de R^3. Mostre que u1, u2, u3 são ortogonais e escreva v como uma combinação linear de u1, u2, u3. (Sugestão: use coeficientes de Fourier.)
(b) v=(1,-3,3)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que os vetores
u1=(1,1,2), u2=(1,3,-2), u3=(4,-2,-1)
em R^3 são mutuamente ortogonais (isto é, seus produtos internos são zero) e depois escrever
v=(1,-3,3)
como combinação linear de u1,u2,u3. Para isso vamos usar o produto interno canônico em R^3 e os chamados coeficientes de Fourier, que em bases ortogonais são
ci=lang<= v,uirang<=lang<= ui,uirang<=

Passo 2

Calculamos os produtos internos para verificar a ortogonalidade:
lang<= u1,u2rang<= = 1cdot1 + 1cdot3 + 2cdot(-2) = 1+3-4 = 0,
lang<= u1,u3rang<= = 1cdot4 + 1cdot(-2) + 2cdot(-1) = 4-2-2 = 0,
lang<= u2,u3rang<= = 1cdot4 + 3cdot(-2) +(-2)cdot(-1) = 4-6+2 = 0
Como todos são zero, os vetores são de fato ortogonais.

Passo 3

Agora precisamos das normas ao quadrado de cada ui:
lang<= u1,u1rang<= = 1^2+1^2+2^2 = 6, lang<= u2,u2rang<= = 1^2+3^2+(-2)^2 = 14, lang<= u3,u3rang<= = 4^2+(-2)^2+(-1)^2 = 21

Passo 4

Calculamos os coeficientes de Fourier
c1 = lang<= v,u1rang<=lang<= u1,u1rang<= = 1cdot1 +(-3)cdot1 +3cdot26 = 46 = 23,
c2 = lang<= v,u2rang<=lang<= u2,u2rang<= = 1cdot1 +(-3)cdot3 +3cdot(-2)14 = -1414 = -1,
c3 = lang<= v,u3rang<=lang<= u3,u3rang<= = 1cdot4 +(-3)cdot(-2) +3cdot(-1)21 = 721 = 13

Passo 5

Como em base ortogonal temos
v = c1,u1 + c2,u2 + c3,u3,
basta substituir os ci encontrados.

Resposta

v = 23,u1 ;-; u2 ;+; 13,u3

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