3.58 Sejam
de
. Mostre que
são ortogonais e escreva
como uma combinação linear de
. (Sugestão: use coeficientes de Fourier.)
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que os vetores
em
são mutuamente ortogonais (isto é, seus produtos internos são zero) e depois escrever
como combinação linear de
. Para isso vamos usar o produto interno canônico em
e os chamados coeficientes de Fourier, que em bases ortogonais são
Passo 2
Calculamos os produtos internos para verificar a ortogonalidade:
Como todos são zero, os vetores são de fato ortogonais.
Passo 3
Agora precisamos das normas ao quadrado de cada
:
Passo 4
Calculamos os coeficientes de Fourier
Passo 5
Como em base ortogonal temos
basta substituir os
encontrados.