Encontre a posição relativa entre os 3 planos:
pi1: x+2 y-z=-4, pi2: 3 x+2 y+4 z=1, pi3: 5 x+6 y+2 z=0

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa dos planos
pi1:x+2y-z=-4, pi2:3x+2y+4z=1 e pi3:5x+6y+2z=0.
Vamos verificar se algum par é paralelo e se há interseção comum aos três.

Passo 2

Compute os vetores normais:
n1=(1,2,-1), n2=(3,2,4), n3=(5,6,2)
Nenhum desses é múltiplo escalar de outro (por exemplo, não existe k tal que (3,2,4)=k(1,2,-1), etc.).
Logo, nenhum par de planos é paralelo e cada par intersecta segundo uma reta.

Passo 3

Para ver se há interseção comum aos três planos, montamos o sistema
x+2y-z=-4, 3x+2y+4z=1, 5x+6y+2z=0
O determinante da matriz dos coeficientes é
det 1&2&-1 3&2&4 5&6&2 =0,
então a matriz tem posto menor que 3.

Passo 4

Determinamos o posto da matriz ampliada. Se tentarmos expressar a terceira linha como combinação linear das duas primeiras,
(5,6,2mid0)stackrel?=2,(1,2,-1mid-4)+1,(3,2,4mid1) =(5,6,2mid -7),
observamos que o termo constante -7 não bate com 0.
Isto implica que o posto da matriz ampliada é 3, enquanto o posto da matriz dos coeficientes é 2.
Como posto(A)<posto(A|b), o sistema é incompatível.

Resposta

Cada par de planos intersecta segundo uma reta (pois seus normais não são paralelos), mas não existe ponto comum aos três planos (o sistema é incompatível).

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