Encontre a posição relativa entre os 3 planos:
pi1: 2 x+y-z=2, pi2: 6 x+3 y-3 z=-4, pi3: 4 x+2 y-2 z=1

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre os três planos
pi1:2x+y-z=2, pi2:6x+3y-3z=-4 e pi3:4x+2y-2z=1.
Para isso vamos comparar os vetores normais de cada plano e verificar se eles são paralelos (proporcionais) e se algum par deles é coincidente (mesma equação até constante).

Passo 2

Extraímos os vetores normais:
n1=(2,1,-1),
n2=(6,3,-3),
n3=(4,2,-2).

Passo 3

Verificamos proporcionalidade entre os normais:
n2=3,n1 e n3=2,n1.
Como todos são múltiplos de (2,1,-1), os planos são paralelos ou coincidentes.

Passo 4

Para testar coincidência com pi1:
– Se fosse coincidente com pi2, deveríamos ter
l(2x+y-z=2r)times3implies2cdot3x+1cdot3y-1cdot3z=2cdot3, ou seja
;6x+3y-3z=6,
mas pi2 tem termo independente -4neq6. Logo não coincidem.
– Se fosse coincidente com pi3, faríamos
l(2x+y-z=2r)times2implies4x+2y-2z=4,
porém pi3 tem termo independente 1neq4. Então também não coincidem.

Passo 5

Como nenhum par de planos coincide e todos têm normais proporcionais, concluímos que todos são paralelos distintos e, portanto, não têm intersecção comum.

Resposta

Os três planos são paralelos entre si e distintos, não há interseção.

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