3-65 The water side of the wall of a 100-\mathrm{m}-long dam is a quarter circle with a radius of 10 m . Determine the hydrostatic force on the dam and its line of action when the dam is filled to the rim.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da barragem (no terceiro dimensão): L=100\\ \mathrm{m}.
    • A face voltada para a água tem a forma de um arco de quarto de círculo de raio R=10\\ \mathrm{m}.
    • A água enche até a borda (a superfície livre coincide com o ponto mais alto do arco).
    • Densidade da água (valor padrão que usaremos): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • A aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O que é pedido:
    1. A força hidrostática resultante total exercida pela água sobre essa face da barragem.
    2. A linha de ação dessa força (ou seja, a posição onde a resultante atua) — daremos a profundidade medida a partir da borda (superfície livre) e também a direção/ângulo da resultante.
Observação: aqui a face é um arco (curva plana) extrudado no comprimento L. Vamos calcular a resultante das pressões sobre essa superfície curva e localizar seu ponto de aplicação.

Passo 2

Conceito básico e estratégia (passo a passo, sem pular etapas):
  • Pressão hidrostática num ponto depende só da profundidade vertical h abaixo da superfície livre:
    p = \rho g h.
    Aqui \rho é a densidade do fluido, g a gravidade e h a profundidade vertical até o ponto.
  • Para uma pequena área dA da superfície, a força elemental é
    d\mathbf{F} = p\, dA\, \mathbf{n},
    onde \mathbf{n} é a normal unitaria orientada do fluido sobre a superfície. Para uma superfície curva no plano (arco de círculo) é útil separar a resultante em componentes horizontal F_H e vertical F_V:
    F_H=\int p\, dA\cos\varphi,\qquad F_V=\int p\, dA\sin\varphi,
    em que \varphi é o ângulo entre a normal e a direção horizontal (veremos a parametrização específica).
  • Propriedades úteis (que vou usar e explicar na prática):
    1. O componente horizontal F_H de uma força sobre uma superfície curva corresponde à força sobre a projeção vertical dessa superfície (ou seja, sobre a área projetada na vertical). Isto simplifica o cálculo de F_H.
    2. O componente vertical F_V é igual ao peso do fluido acima da superfície curva (é uma propriedade clássica: a soma das componentes verticais das forças que o fluido exerce é o peso do fluido contido acima da superfície até a superfície livre).
    3. Para localizar a linha de ação resultante, podemos calcular as componentes F_H e F_V e usar equilíbrio de momentos. No caso do quarto de círculo a simetria nos dá uma grande simplificação (veremos).
Agora vamos parametrizar a superfície e aplicar essas ideias com contas detalhadas.

Passo 3

Escolha de coordenadas e parametrização do arco:
  • Coloco o centro do círculo na origem O do plano (x,y). O quarto de círculo vai de \theta=0 até \theta=\dfrac{\pi}{2} (ângulo medido a partir do eixo x positivo para o eixo y positivo).
  • Um ponto qualquer do arco tem coordenadas (relativas ao centro): x=R\cos\theta,\qquad y=R\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
  • A superfície livre (a borda) é o ponto mais alto do arco, cujo coordenada y é R. Portanto a profundidade vertical h de um ponto do arco (medida a partir da superfície livre para baixo) é h = \text{(altura da superfície livre)} - y = R - R\sin\theta = R(1-\sin\theta).í
  • Elemento de área da face (arco extrudado no comprimento L): dA = (\text{comprimento elementar do arco})\times L = (R\, d\theta)\, L = R L\, d\theta.
  • A pressão nesse ponto é p=\rho g h = \rho g R(1-\sin\theta).
  • A força elemental (módulo) é dF = p\, dA = \rho g R(1-\sin\theta)\cdot R L\, d\theta = \rho g R^{2} L (1-\sin\theta)\, d\theta.
  • A normal radial (unitária) ao arco tem componentes (\cos\theta,\\ \sin\theta). A força elemental aponta para dentro do sólido (contra a superfície), mas estamos interessados nas magnitudes das componentes, então usaremos as projeções: dF_H = dF\cos\theta,\qquad dF_V = dF\sin\theta.

Passo 4

Cálculo do componente horizontal F_H:
  • Integrando a expressão de dF_H: F_H = \int_{0}^{\pi/2} dF\cos\theta = \rho g R^{2} L \int_{0}^{\pi/2} (1-\sin\theta)\cos\theta\, d\theta.
  • Vamos calcular a integral explicitamente: \int_{0}^{\pi/2} (1-\sin\theta)\cos\theta\, d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\, d\theta - \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\, d\theta.Calcule cada termo: \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\, d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = 1-0 = 1,
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\, d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\, d\theta = \tfrac{1}{2}\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\Big]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\big(1-(-1)\big)\\ (\text{mas é mais simples usar } \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta),é
usando \int\sin\theta\cos\theta\, d\theta = \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\, d\theta = \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}.
  • Assim a integral total é 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Portanto
    F_H = \rho g R^{2} L \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\rho g R^{2} L.
  • Agora substituímos valores numéricos:
    R^{2}L = (10\\ \mathrm{m})^{2}\cdot 100\\ \mathrm{m} = 10{,}000\\ \mathrm{m^{3}},
F_H = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\cdot 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}\cdot 10{,}000\\ \mathrm{m^{3}} = 4{,}905\times10^{7}\\ \mathrm{N}.
Observação didática curta: esse mesmo resultado poderia ser obtido reconhecendo que F_H é a força sobre a projeção vertical da superfície, que é uma face plana de altura R e largura L; a força sobre essa face plana é \rho g L\int_{0}^{R} y\, dy=\tfrac{1}{2}\rho g R^{2}L, que coincide com o cálculo direto acima.

Passo 5

Cálculo do componente vertical F_V:
  • A propriedade física usada: a soma das componentes verticais das forças de pressão sobre uma superfície curva é igual ao peso do fluido que está apoiado pela superfície (o fluido “acima” da superfície). Assim
    F_V = \text{peso do volume de água acima do arco}.á
  • Vamos calcular esse volume por fatias verticais ou usando coordenadas. Para a configuração atual (arco de círculo entre \theta=0 e \pi/2, extrudado no comprimento L), o volume V do fluido acima da superfície curva é a área limitada pela superfície livre (linha horizontal no topo) e pelo arco, multiplicada por L.
    A área A_{\text{acima}} (em planta do corte) é a área do setor do quarto de círculo “complementar” até a linha horizontal? Mais direto é calcular V por integral:
    dV = (\text{altura infinitesimal }h)\times(\text{largura }dx)\times L,
    porém é mais simples computar o volume usando a integral do elemento dV = x\, d y \cdot L ou diretamente integrar dF_V como feito antes.
  • Usando a parametrização já feita, podemos encontrar F_V diretamente pela integral das componentes:
    F_V = \int_{0}^{\pi/2} dF\sin\theta = \rho g R^{2} L \int_{0}^{\pi/2} (1-\sin\theta)\sin\theta\, d\theta.
  • Calcule a integral:
    \int_{0}^{\pi/2} (1-\sin\theta)\sin\theta\, d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\, d\theta - \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\, d\theta.
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\, d\theta = [-\cos\theta]_{0}^{\pi/2} = 1.
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\, d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos2\theta)\, d\theta = \frac{1}{2}\Big[\theta - \tfrac{1}{2}\sin2\theta\Big]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
Portanto a integral é
1 - \frac{\pi}{4} = 1-\frac{\pi}{4}.
  • Logo F_V = \rho g R^{2} L\left(1-\frac{\pi}{4}\right).
  • Substituindo números: F_V = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 10{,}000 \cdot\left(1-\frac{\pi}{4}\right) \approx 2{,}105\times10^{7}\\ \mathrm{N}.
Breve verificação física: 1-\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}2146, então F_V é menor que F_H, o que se espera para este arco (componente horizontal domina).

Passo 6

Resultante total e direção:
  • A resultante \mathbf{F} tem componentes F_H (horizontal) e F_V (vertical). Seu módulo é F_R = \sqrt{F_H^{2}+F_V^{2}}.
  • Substituindo os valores numéricos: F_R = \sqrt{(4{,}905\times10^{7})^{2} + (2{,}105\times10^{7})^{2}} \approx 5{,}33\times10^{7}\\ \mathrm{N}.
  • O ângulo \varphi que a resultante faz com a horizontal (positiva para baixo a partir da horizontal) é \varphi = \arctan\!\left(\frac{F_V}{F_H}\right) = \arctan\!\left(\frac{2{,}105\times10^{7}}{4{,}905\times10^{7}}\right) \approx 23{,}3^\circ.

Passo 7

Localização da linha de ação (onde a resultante intercepta a face curva):
  • Método: calcular o momento total da distribuição de pressão em torno do centro do círculo e igualá-lo ao momento da resultante aplicada num ponto da superfície. Vou mostrar uma propriedade útil e elegante: calculando o momento escalar (torque) total da pressão sobre o centro do círculo, obtemos zero. Isso implica que a linha de ação da resultante passa pelo centro do círculo. Vou mostrar a conta sucintamente:
    Momento total em torno do centro O (momento escalar out-of-plane) é
    M_O=\int_{0}^{\pi/2} \big(x\, dF_{y} - y\, dF_{x}\big).
    Com x=R\cos\theta,\\ y=R\sin\theta,\\ dF_{x}=-dF\cos\theta,\\ dF_{y}=-dF\sin\theta (o sinal indica direção para dentro) tem-se
    x\, dF_{y} - y\, dF_{x} = R\cos\theta(-dF\sin\theta) - R\sin\theta(-dF\cos\theta) = 0.
    Assim M_O=0. Portanto a linha de ação da resultante passa pelo centro O.
  • Consequência prática: a resultante \mathbf{F} passa por O e tem direção que já calculamos (ângulo \varphi abaixo da horizontal). O ponto onde a linha de ação intercepta a superfície curva é simplesmente o ponto do arco cujo raio forma o mesmo ângulo com a horizontal, isto é, o ponto com coordenada angular \theta=\varphi.
  • Então a profundidade h_R desse ponto abaixo da borda (superfície livre) é
    h_R = R(1-\sin\varphi).
    Substituindo \varphi\approx 23{,}3^\circ e R=10\\ \mathrm{m}:
    \sin\varphi \approx 0{,}395,\qquad h_R \approx 10(1-0{,}395)=6{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Podemos dar também a coordenada em relação ao centro: o ponto de aplicação tem coordenadas (relativas ao centro)
    x_R = R\cos\varphi \approx 10\cos(23{,}3^\circ)\approx 9{,}15\\ \mathrm{m},
y_R = R\sin\varphi \approx 10\sin(23{,}3^\circ)\approx 3{,}95\\ \mathrm{m}.
Mas o que tipicamente se pede é a profundidade abaixo da borda: h_R\approx 6{,}05\\ \mathrm{m}.

Resposta

F_R = 5{,}33\times10^{7}\\ \mathrm{N}
Linha de ação: a resultante intercepta a face a uma profundidade h_R = 6{,}05\\ \mathrm{m} abaixo da borda (ângulo da resultante em relação à horizontal \varphi\approx23{,}3^\circ).

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