3-65 The water side of the wall of a 100-\mathrm{m}-long dam is a quarter circle with a radius of 10 m . Determine the hydrostatic force on the dam and its line of action when the dam is filled to the rim.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados fornecidos:
Comprimento da barragem (no terceiro dimensão): L=100\\ \mathrm{m}.
A face voltada para a água tem a forma de um arco de quarto de círculo de raio R=10\\ \mathrm{m}.
A água enche até a borda (a superfície livre coincide com o ponto mais alto do arco).
Densidade da água (valor padrão que usaremos): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
A aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que é pedido:
A força hidrostática resultante total exercida pela água sobre essa face da barragem.
A linha de ação dessa força (ou seja, a posição onde a resultante atua) — daremos a profundidade medida a partir da borda (superfície livre) e também a direção/ângulo da resultante.
Observação: aqui a face é um arco (curva plana) extrudado no comprimento L. Vamos calcular a resultante das pressões sobre essa superfície curva e localizar seu ponto de aplicação.
Passo 2
Conceito básico e estratégia (passo a passo, sem pular etapas):
Pressão hidrostática num ponto depende só da profundidade vertical h abaixo da superfície livre:
p = \rho g h.
Aqui \rho é a densidade do fluido, g a gravidade e h a profundidade vertical até o ponto.
Para uma pequena área dA da superfície, a força elemental é
d\mathbf{F} = p\, dA\, \mathbf{n},
onde \mathbf{n} é a normal unitaria orientada do fluido sobre a superfície. Para uma superfície curva no plano (arco de círculo) é útil separar a resultante em componentes horizontal F_H e vertical F_V:
em que \varphi é o ângulo entre a normal e a direção horizontal (veremos a parametrização específica).
Propriedades úteis (que vou usar e explicar na prática):
O componente horizontal F_H de uma força sobre uma superfície curva corresponde à força sobre a projeção vertical dessa superfície (ou seja, sobre a área projetada na vertical). Isto simplifica o cálculo de F_H.
O componente vertical F_V é igual ao peso do fluido acima da superfície curva (é uma propriedade clássica: a soma das componentes verticais das forças que o fluido exerce é o peso do fluido contido acima da superfície até a superfície livre).
Para localizar a linha de ação resultante, podemos calcular as componentes F_H e F_V e usar equilíbrio de momentos. No caso do quarto de círculo a simetria nos dá uma grande simplificação (veremos).
Agora vamos parametrizar a superfície e aplicar essas ideias com contas detalhadas.
Passo 3
Escolha de coordenadas e parametrização do arco:
Coloco o centro do círculo na origem O do plano (x,y). O quarto de círculo vai de \theta=0 até \theta=\dfrac{\pi}{2} (ângulo medido a partir do eixo x positivo para o eixo y positivo).
Um ponto qualquer do arco tem coordenadas (relativas ao centro):x=R\cos\theta,\qquad y=R\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
A superfície livre (a borda) é o ponto mais alto do arco, cujo coordenada y é R. Portanto a profundidade vertical h de um ponto do arco (medida a partir da superfície livre para baixo) éh = \text{(altura da superfície livre)} - y = R - R\sin\theta = R(1-\sin\theta).
Elemento de área da face (arco extrudado no comprimento L):dA = (\text{comprimento elementar do arco})\times L = (R\, d\theta)\, L = R L\, d\theta.
A pressão nesse ponto é p=\rho g h = \rho g R(1-\sin\theta).
A força elemental (módulo) édF = p\, dA = \rho g R(1-\sin\theta)\cdot R L\, d\theta = \rho g R^{2} L (1-\sin\theta)\, d\theta.
A normal radial (unitária) ao arco tem componentes (\cos\theta,\\ \sin\theta). A força elemental aponta para dentro do sólido (contra a superfície), mas estamos interessados nas magnitudes das componentes, então usaremos as projeções:dF_H = dF\cos\theta,\qquad dF_V = dF\sin\theta.
Passo 4
Cálculo do componente horizontal F_H:
Integrando a expressão de dF_H:F_H = \int_{0}^{\pi/2} dF\cos\theta = \rho g R^{2} L \int_{0}^{\pi/2} (1-\sin\theta)\cos\theta\, d\theta.
Vamos calcular a integral explicitamente:\int_{0}^{\pi/2} (1-\sin\theta)\cos\theta\, d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\, d\theta - \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\, d\theta.Calcule cada termo:\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\, d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = 1-0 = 1,
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\, d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\, d\theta = \tfrac{1}{2}\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\Big]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\big(1-(-1)\big)\\ (\text{mas é mais simples usar } \tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta),é
Observação didática curta: esse mesmo resultado poderia ser obtido reconhecendo que F_H é a força sobre a projeção vertical da superfície, que é uma face plana de altura R e largura L; a força sobre essa face plana é \rho g L\int_{0}^{R} y\, dy=\tfrac{1}{2}\rho g R^{2}L, que coincide com o cálculo direto acima.
Passo 5
Cálculo do componente vertical F_V:
A propriedade física usada: a soma das componentes verticais das forças de pressão sobre uma superfície curva é igual ao peso do fluido que está apoiado pela superfície (o fluido “acima” da superfície). Assim
F_V = \text{peso do volume de água acima do arco}.á
Vamos calcular esse volume por fatias verticais ou usando coordenadas. Para a configuração atual (arco de círculo entre \theta=0 e \pi/2, extrudado no comprimento L), o volume V do fluido acima da superfície curva é a área limitada pela superfície livre (linha horizontal no topo) e pelo arco, multiplicada por L.
A área A_{\text{acima}} (em planta do corte) é a área do setor do quarto de círculo “complementar” até a linha horizontal? Mais direto é calcular V por integral:
dV = (\text{altura infinitesimal }h)\times(\text{largura }dx)\times L,
porém é mais simples computar o volume usando a integral do elemento dV = x\, d y \cdot L ou diretamente integrar dF_V como feito antes.
Usando a parametrização já feita, podemos encontrar F_V diretamente pela integral das componentes:
F_V = \int_{0}^{\pi/2} dF\sin\theta = \rho g R^{2} L \int_{0}^{\pi/2} (1-\sin\theta)\sin\theta\, d\theta.
O ângulo \varphi que a resultante faz com a horizontal (positiva para baixo a partir da horizontal) é\varphi = \arctan\!\left(\frac{F_V}{F_H}\right) = \arctan\!\left(\frac{2{,}105\times10^{7}}{4{,}905\times10^{7}}\right) \approx 23{,}3^\circ.
Passo 7
Localização da linha de ação (onde a resultante intercepta a face curva):
Método: calcular o momento total da distribuição de pressão em torno do centro do círculo e igualá-lo ao momento da resultante aplicada num ponto da superfície. Vou mostrar uma propriedade útil e elegante: calculando o momento escalar (torque) total da pressão sobre o centro do círculo, obtemos zero. Isso implica que a linha de ação da resultante passa pelo centro do círculo. Vou mostrar a conta sucintamente:
Momento total em torno do centro O (momento escalar out-of-plane) é
Assim M_O=0. Portanto a linha de ação da resultante passa pelo centro O.
Consequência prática: a resultante \mathbf{F} passa por O e tem direção que já calculamos (ângulo \varphi abaixo da horizontal). O ponto onde a linha de ação intercepta a superfície curva é simplesmente o ponto do arco cujo raio forma o mesmo ângulo com a horizontal, isto é, o ponto com coordenada angular \theta=\varphi.
Então a profundidade h_R desse ponto abaixo da borda (superfície livre) é
h_R = R(1-\sin\varphi).
Substituindo \varphi\approx 23{,}3^\circ e R=10\\ \mathrm{m}:
Mas o que tipicamente se pede é a profundidade abaixo da borda: h_R\approx 6{,}05\\ \mathrm{m}.
Resposta
F_R = 5{,}33\times10^{7}\\ \mathrm{N}
Linha de ação: a resultante intercepta a face a uma profundidade h_R = 6{,}05\\ \mathrm{m} abaixo da borda (ângulo da resultante em relação à horizontal \varphi\approx23{,}3^\circ).