Deseja-se resfriar um alimento sólido embalado em uma lata cilíndrica de 12 cm de comprimento por 6 cm de raio. O alimento está inicialmente a 95^circ C e o meio de resfriamento é água a 2^circ C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a água e a embalagem é igual a 200 W / m^2 K. a) Sabendo que as propriedades termofísicas do alimento são: k=0,36 W / m K ; rho=950 kg / m^3 e c =3,9 kJ / kg K, determine a temperatura do centro do alimento embalado depois de 3 horas; b) Qual o erro cometido ao se considerar a lata como um cilindro infinito? Justifica sua resposta.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um alimento sólido numa lata cilíndrica de comprimento L=0,12: m e raio R=0,06: m, inicialmente a 95^circ C, imerso em água a 2^circ C com coeficiente convectivo h=200:W/m^2K. As propriedades do alimento são
k=0,36:W/m,K, rho=950:kg/m^3, c=3,9:kJ/(kg,K)=3900:J/(kg,K)
O problema é de condução transiente com convecção na superfície. Vamos precisar calcular o número de Biot e o número de Fourier, e então usar a solução para um cilindro infinito (aproximação axial desprezada) considerando o primeiro modo de Fourier–Bessel.

Passo 2

Calcular difusividade térmica, número de Biot e número de Fourier:
alpha = krho,c = 0,36950cdot 3900 approx 9,72times10^-8:m^2/s
Bi = h,Rk = 200cdot 0,060,36 approx 33,33(gg0,1,condução interna importante) çã
t = 3: h = 3cdot3600 = 10800: s, Fo = alpha,tR^2 = 9,72times10^-8cdot10800(0,06)^2 approx 0,292

Passo 3

Para um cilindro infinito com convecção externa de grande Biot, o primeiro autovalor satisfaz aproximadamente lambda1approx2,405 e o coeficiente associado é
A1 ;=;4lambda1,J1(lambda1) approx 42,405cdot0,519 approx 3,20,
onde J1(2,405)approx0,519. Então a temperatura central adimensional é
T(0,t)-TinftyTi-Tinfty approx A1,expl(-lambda1^2,For) =3,20,expl(-2,405^2cdot0,292r) approx3,20cdot0,185 approx0,592

Passo 4

Voltando à temperatura, com Tinfty=2^circ C e Ti=95^circ C:
T(0,10800, s) = Tinfty + 0,592,(Ti-Tinfty) = 2 +0,592,(95-2) approx 2 +0,592cdot93 approx 57,0^circ C

Passo 5

Erro ao tratar a lata como cilindro infinito: nessa hipótese despreza-se a troca de calor pelas tampas circulares de área 2pi R^2, usando só a área lateral 2pi R L. No nosso caso
Arm lat = 2pi R L = 2pi(0,06)(0,12) approx 0,0452:m^2, Arm tampas = 2pi R^2 approx 0,0226:m^2,
logo desprezar as tampas reduz a área de troca em cerca de 0,0226/0,0678 approx 33%. Isso subestima a troca de calor e superestima a temperatura central. Comparando com um cálculo mais completo (incluindo tampas) obtém-se tipicamente uns 2--3^circC a menos no centro após 3,h, ou seja um erro na ordem de 4% a 6%.

Resposta

A temperatura no centro do alimento depois de 3 h é aproximadamente 57,0^circ C.
O erro de se assumir cilindro infinito (desprezando as tampas) é desprezar cerca de 33 % da área de troca e, na prática, leva a superestimar a temperatura central em torno de 4 %– 6 %.

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