6믄) Seja B uma base do \mathbb{R}^{3} formada pelos vetores u_{1}=(1,0,1), u_{2}=(-1,1,0) e u_{3}=(0,1,2). Encontre B^{\prime} também conhecida por base dual de B, onde B^{\prime} é por definição uma base para o espaço dual \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right)

Passo 1

O enunciado pede a base dual B'=\{\varphi^{1},\varphi^{2},\varphi^{3}\} da base B=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, onde por definição cada funcional \varphi^{i}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} deve satisfazer \varphi^{i}(u_{j})=\delta_{ij}. O conteúdo usado é álgebra linear, representando u_{j} como colunas de uma matriz U e obtendo a base dual pelas linhas de U^{-1}.

Passo 2

Colocamos os vetores como colunas da matriz
U = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix},
de modo que, para qualquer x\in\mathbb{R}^{3} com coordenadas canônicas (x_{1},x_{2},x_{3}), as coordenadas em B são c=U^{-1}x. Logo, cada funcional da base dual é dado pela linha correspondente de U^{-1}.

Passo 3

Calculamos o determinante de U:
\det(U) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +0\cdot\cdots =1\cdot(1\cdot2-1\cdot0) +1\cdot(0\cdot2-1\cdot1) =2-1=1.

Passo 4

Como \det(U)=1, temos U^{-1}=\mathrm{adj}(U). Calculando cofatores e transpondo, obtemos
U^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

As linhas de U^{-1} são os coeficientes dos funcionais \varphi^{i}. Assim, para x=(x_{1},x_{2},x_{3}),
\varphi^{1}(x)=2x_{1}+2x_{2}-x_{3},
\varphi^{2}(x)=x_{1}+2x_{2}-x_{3},
\varphi^{3}(x)=-x_{1}-x_{2}+x_{3}.

Resposta

\varphi^{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}+2x_{2}-x_{3} \varphi^{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+2x_{2}-x_{3} \varphi^{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=-x_{1}-x_{2}+x_{3}

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