6믄) Seja B uma base do \mathbb{R}^{3} formada pelos vetores u_{1}=(1,0,1), u_{2}=(-1,1,0) e u_{3}=(0,1,2). Encontre B^{\prime} também conhecida por base dual de B, onde B^{\prime} é por definição uma base para o espaço dual \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right)
Passo 1
O enunciado pede a base dual B'=\{\varphi^{1},\varphi^{2},\varphi^{3}\} da base B=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} de \mathbb{R}^{3}, onde por definição cada funcional \varphi^{i}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} deve satisfazer \varphi^{i}(u_{j})=\delta_{ij}. O conteúdo usado é álgebra linear, representando u_{j} como colunas de uma matriz U e obtendo a base dual pelas linhas de U^{-1}.
de modo que, para qualquer x\in\mathbb{R}^{3} com coordenadas canônicas (x_{1},x_{2},x_{3}), as coordenadas em B são c=U^{-1}x. Logo, cada funcional da base dual é dado pela linha correspondente de U^{-1}.