5a) (a) lim x 0 sen(6 x)2 x
5b) (b) lim x 0 sen(5 x)sen(9 x)
5c) © lim x 0 cos (x)-1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites quando xto0: (a) sin(6x)2x, (b) sin(5x)sin(9x) e © cos(x)-1x. O conteúdo principal é o limite fundamental trigonométrico limuto0sin(u)u=1 e, para o item ©, podemos usar também a regra de l’Hôpital ou a expansão de Taylor de cos(x).

Passo 2

Para (a), reescrevemos sin(6x)2x=sin(6x)6xcdot6x2x=sin(6x)6xcdot3. Como xto0, temos sin(6x)6xto1. Logo o limite é 3.

Passo 3

No item (b), dividimos e multiplicamos por x:
sin(5x)sin(9x)=sin(5x)5xcdot9xsin(9x)cdot59
Aqui sin(5x)5xto1 e 9xsin(9x)=l(sin(9x)9xr)^-1to1. Assim o limite vale 5/9.

Passo 4

Para ©, notamos forma 0/0. Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
limxto0cos(x)-1x=limxto0-sin(x)1=-sin(0)=0
Alternativamente, usando expansão cos(x)approx1-tfracx^22, ficaria (1-tfracx^22-1)/x=-x/2to0.

Resposta

(a) 3, (b) 5/9, © 0

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