Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala h1, h2, h3, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
x=rho cos phi, y=rho sin phi, z=z.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que as coordenadas x=rhocosphi, y=rhosinphi, z=z são um sistema de coordenadas curvilíneas (que a gente conhece por cilindricas), e em seguida encontrar os fatores de escala h1,h2,h3, além de escrever as fórmulas do gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano nesse sistema. Vamos usar a teoria de sistemas ortogonais de coordenadas e as expressões padrão em termos dos fatores de escala.

Passo 2

Pra achar os fatores de escala hi num sistema ortogonal a gente lembra que o elemento de comprimento é
ds^2 = h1^2,du1^2 + h2^2,du2^2 + h3^2,du3^2
No nosso caso tomamos u1=rho, u2=phi, u3=z. Então calculamos
ds^2 = drho^2 + rho^2dphi^2 + dz^2,
do que vemos direto que
h1 =1,
h2 = rho,
h3 =1

Passo 3

Com os fatores de escala em mãos, o gradiente de uma função f(rho,phi,z) no sistema cilíndrico é dado pela fórmula
nabla f = sumi=1^3 eihi partial fpartial ui
Substituindo h1,h2,h3 e os vetores unitários erho,ephi,ez, obtemos
nabla f = erho,partial fpartial rho + ephi1rhopartial fpartial phi + ez,partial fpartial z

Passo 4

Para o divergente de um campo vetorial A=Arhoerho + Aphiephi + Azez em sistema ortogonal vale
nablacdotA = 1h1h2h3 sumi=1^3 partialpartial uil(h1h2h3,Ai/hir)
Aqui h1h2h3=rho, logo
nablacdotA = 1rho partialpartial rho(rho Arho) + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z

Passo 5

O rotacional também tem fórmula padrão em coordenadas ortogonais: para A acima,
nablatimesA = sumi,j,keihi,varepsilonijk1hjhkpartialpartial uj(hkAk),
de onde, colocando h1=1,h2=rho,h3=1, as componentes ficam
(nablatimesA)rho = 1rhopartial Azpartial phi - partial Aphipartial z,
(nablatimesA)phi = partial Arhopartial z - partial Azpartial rho,
(nablatimesA)z = 1rhol[partialpartial rho(rho Aphi) - partial Arhopartial phir]

Passo 6

O Laplaciano de uma função f é simplesmente o divergente do seu gradiente. Substituindo a expressão de nabla f no divergente acima, dá
nabla^2 f = 1rhopartialpartial rhol(rhopartial fpartial rhor) + 1rho^2partial^2 fpartial phi^2 + partial^2 fpartial z^2

Resposta

h_1=1, \quad h_2=\rho, \quad h_3=1
Gradiente:
nabla f= erho,partial fpartial rho+ ephi,1rhopartial fpartial phi+ ez,partial fpartial z
Divergente:
nablacdotA=1rhopartialpartial rho(rho Arho)+1rhopartial Aphipartial phi+partial Azpartial z
Rotacional:
(nablatimesA)rho=1rhopartial Azpartial phi-partial Aphipartial z, (nablatimesA)phi=partial Arhopartial z-partial Azpartial rho, (nablatimesA)z=1rhol[partialpartial rho(rho Aphi)-partial Arhopartial phir]
Laplaciano:
nabla^2 f=1rhopartialpartial rhol(rhopartial fpartial rhor)+1rho^2partial^2 fpartial phi^2+partial^2 fpartial z^2

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