Mostre que as seguintes coordenadas são coordenadas curvilíneas, encontre os fatores de escala
, o gradiente, o divergente, o rotacional e o Laplaciano:
.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que as coordenadas
,
,
são um sistema de coordenadas curvilíneas (que a gente conhece por cilindricas), e em seguida encontrar os fatores de escala
, além de escrever as fórmulas do gradiente, divergente, rotacional e Laplaciano nesse sistema. Vamos usar a teoria de sistemas ortogonais de coordenadas e as expressões padrão em termos dos fatores de escala.
Passo 2
Pra achar os fatores de escala
num sistema ortogonal a gente lembra que o elemento de comprimento é
No nosso caso tomamos
,
,
. Então calculamos
do que vemos direto que
Passo 3
Com os fatores de escala em mãos, o gradiente de uma função
no sistema cilíndrico é dado pela fórmula
Substituindo
e os vetores unitários
, obtemos
Passo 4
Para o divergente de um campo vetorial
em sistema ortogonal vale
Aqui
, logo
Passo 5
O rotacional também tem fórmula padrão em coordenadas ortogonais: para
acima,
de onde, colocando
, as componentes ficam
Passo 6
O Laplaciano de uma função
é simplesmente o divergente do seu gradiente. Substituindo a expressão de
no divergente acima, dá
Resposta
h_1=1, \quad h_2=\rho, \quad h_3=1
Gradiente:
Divergente:
Rotacional:
Laplaciano: