Calcule d fd t dado que f(x, y)=3 x^2-y^2 e x(t)=sen(t) e y(t)=e^-t

Passo 1

A questão nos dá a função de duas variáveis f(x,y)=3x^2-y^2 e as parametrizações x(t)=sin(t), y(t)=e^-t. O conteúdo aqui é derivada de função de várias variáveis usando a regra da cadeia: vamos precisar das derivadas parciais de f e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
A derivada de 3x^2 em relação a x é 6x e a de -y^2 em relação a y é -2y. Assim:

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t):

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia, que diz:
dfdt=partial fpartial xcdotdxdt+partial fpartial ycdotdydt

Passo 5

Substituir as derivadas parciais e as funções de t:
dfdt=6xcdotcos(t)+(-2y)cdot(-e^-t).
Como x=sin(t) e y=e^-t:
dfdt=6sin(t)cos(t)+2e^-t,e^-t=6sin(t)cos(t)+2e^-2t.

Passo 6

Observar que 6sin(t)cos(t) pode ser escrito como 3sin(2t). Logo, a forma mais enxuta é:
dfdt=3sin(2t)+2e^-2t

Resposta

3\sin(2t)+2e^{-2t}

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