5á Questão: Ache a equação que modela uma corda elástica sob ação de uma força externa
por unidade de comprimento. Considere que a corda esta esticada com uma tensão T, e que a vibração é pequena. Resolva a equação para o caso em que
, onde
é a densidade linear da corda,
é uma constante, e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, obter a equação que descreve a vibração de uma corda elástica esticada sob tensão
e sujeita a uma força externa por unidade de comprimento
; segundo, resolver essa equação quando
sendo
a densidade linear da corda,
e
e
constantes.
Passo 2
Para deduzir a equação de movimento, consideramos um trecho elementar de corda de comprimento
. A soma das forças na direção vertical é
– a força de tensão nos extremos, que leva ao termo ,
– mais a força externa .
Pela segunda lei de Newton temos
– a força de tensão nos extremos, que leva ao termo
– mais a força externa
Pela segunda lei de Newton temos
Passo 3
Cancelando
e usando
, obtemos a forma padrão da equação de onda inhomogênea:
Passo 4
Substituindo
na equação acima, fica
Passo 5
A solução geral de uma equação de onda inhomogênea é a soma de
- solução homogênea
, dada pela fórmula de d’Alembert - uma solução particular
de
Como o termo de forçamento não depende de
, procuramos
. Então
e sobra a ODE
Passo 6
Integramos a ODE duas vezes em
. Primeiro
depois
Assim
Resposta
A equação de movimento da corda é
ou, dividindo por
,
Para
a solução geral é
onde
e
são dadas pelas condições iniciais e
são constantes de integração.