5á Questão: Ache a equação que modela uma corda elástica sob ação de uma força externa P(x, t) por unidade de comprimento. Considere que a corda esta esticada com uma tensão T, e que a vibração é pequena. Resolva a equação para o caso em que P(x, t)=A rho c^2 sin (omega t), onde rho é a densidade linear da corda, A é uma constante, e c^2=T / rho.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, obter a equação que descreve a vibração de uma corda elástica esticada sob tensão T e sujeita a uma força externa por unidade de comprimento P(x,t); segundo, resolver essa equação quando
P(x,t)=A,rho,c^2,sin(omega t),
sendo rho a densidade linear da corda, c^2=T/rho e A e omega constantes.

Passo 2

Para deduzir a equação de movimento, consideramos um trecho elementar de corda de comprimento dx. A soma das forças na direção vertical é
– a força de tensão nos extremos, que leva ao termo T,partial^2u/partial x^2,dx,
– mais a força externa P(x,t),dx.
Pela segunda lei de Newton temos
rho,dx;partial^2upartial t^2 = T,partial^2upartial x^2,dx + P(x,t),dx

Passo 3

Cancelando dx e usando c^2=T/rho, obtemos a forma padrão da equação de onda inhomogênea:
rho,partial^2upartial t^2 = T,partial^2upartial x^2 + P(x,t) Longrightarrow partial^2upartial t^2 - c^2partial^2upartial x^2 = 1rho,P(x,t)

Passo 4

Substituindo P(x,t)=A,rho,c^2,sin(omega t) na equação acima, fica
partial^2upartial t^2 - c^2partial^2upartial x^2 = A,c^2,sin(omega t)

Passo 5

A solução geral de uma equação de onda inhomogênea é a soma de
  1. solução homogênea uh, dada pela fórmula de d’Alembert uh(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct),
  2. uma solução particular up de partial^2uppartial t^2 - c^2partial^2uppartial x^2 =A,c^2,sin(omega t)
Como o termo de forçamento não depende de x, procuramos up(x,t)=h(t). Então partial^2up/partial x^2=0 e sobra a ODE
h''(t)=A,c^2,sin(omega t)

Passo 6

Integramos a ODE duas vezes em t. Primeiro
h'(t)=-A,c^2omegacos(omega t)+C1,
depois
h(t)=-A,c^2omega^2sin(omega t)+C1,t+C2
Assim
up(x,t)=-A,c^2omega^2sin(omega t)+C1,t+C2

Resposta

A equação de movimento da corda é
rho,utt=T,uxx+P(x,t),
ou, dividindo por rho,
utt-c^2,uxx=1rhoP(x,t)
Para P(x,t)=A,rho,c^2sin(omega t) a solução geral é
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct);-;A,c^2omega^2sin(omega t);+;C1,t;+;C2,
onde F e G são dadas pelas condições iniciais e C1,C2 são constantes de integração.

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